Fatoração de Polinômios

Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.

Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.

Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:

Fator Comum em Evidência

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.

Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses.

Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.

Na prática, vamos fazer os seguintes passos:

1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos. 2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência). 3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.

Exemplos

a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?

Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.

Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

b) Fatore 2a2b + 3a3c - a4.

Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.

A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente do a na expressão.

Dividimos cada termo do polinômio por a2:

2a2 b : a2 = 2a2 - 2 b = 2b

3a3c : a2 = 3a3 - 2 c = 3ac

a4 : a2 = a2

Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:

2a2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2)

Agrupamento

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.

Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.

Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

Exemplo

Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.

Colocando esses fatores em evidência:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.

Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito

Trinômios são polinômios com 3 termos.

Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2.

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos)

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos)

Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:

1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado. 2º) Multiplicar os valores encontrados por 2. 3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.

Exemplos

a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9

Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.

√x2 = x e √9 = 3

Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x

Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.

Assim, a fatoração será:

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) Fatorar o polinômio x2 - 8xy + 9y2

Testando se é trinômio quadrado perfeito:

√x2 = x e √9y2 = 3y

Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy

O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).

Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.

Diferença de Dois Quadrados

Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença.

Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a2 - b2 = (a + b) . (a - b)

Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.

Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Exemplo

Fatorar o binômio 9x2 - 25.

Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x2 = 3x e √25 = 5

Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:

9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)

Cubo Perfeito

Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3.

Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.

Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.

Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.

Exemplos

a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8

Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

3√ x3 = x e 3√ 8 = 2

Depois, confirmar se é cubo perfeito:

3 . x2 . 2 = 6x2

3 . x . 22 = 12x

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

b) Fatorar o polinômio a3 - 9a2 + 27a - 27

Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:

3√ a3 = a e 3√ - 27 = - 3

Depois confirmar se é cubo perfeito:

3 . a2 . (- 3) = - 9a2

3 . a . (- 3)2 = 27a

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.

Assim, a fatoração será:

a3 - 9a2 + 27a - 27 = (a - 3)3

Leia também:

• Potenciação
• Polinômios
• Produtos Notáveis
• Produtos Notáveis - Exercícios
• Expressões Algébricas
• Função Polinomial
• Equação do Segundo Grau
• Números Primos

Exercícios Resolvidos

Fatore os seguintes polinômios:

a) 33x + 22y – 55z b) 6nx – 6ny c) 4x – 8c + mx – 2mc d) 49 – a2 e) 9a2 + 12a + 4

a) 11. (3x + 2y – 5z) b) 6n . (x – y) c) (x – 2c) . (4 + m) d) (7 + a) . (7 – a) e) (3a + 2)2