Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um.
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes a função não estaria definida.
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor.
Exemplos:
f(x) = 4x f(x) = (0,1)x f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
Gráfico da função exponencial
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, a curva exponencial não toca no eixo x.
Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes III e IV (imagem negativa).
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial.
Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente.
Será crescente quando a base for maior que 1. Por exemplo, a função y = 2x é uma função crescente.
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos valores para x no expoente da função e encontramos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o resultado encontra-se na tabela abaixo.
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma função decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do zero a curva exponencial fica.
Função Logarítmica
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. A função logarítmica é definida como f(x) = logax, com a real positivo e a ≠ 1.
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = logax ⇔ ay = x.
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica.
No gráfico acima, observamos que enquanto a função exponencial cresce rapidamente, a função logarítmica cresce lentamente.
Leia também:
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- Potenciação
- Exercícios de Potenciação
- Logaritmo - Exercícios
- Propriedades dos Logaritmos
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- Função Composta
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- Função Injetora
- Função Bijetora
- Função Sobrejetora
- Funções Trigonométricas
- Fórmulas de Matemática
Exercícios de Vestibular Resolvidos
1. (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 . 2 -0,2t, em que v0 é uma constante real.
Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Sabendo que v(10) = 12 000: v(10) = v0. 2 -0,2 . 10 12 000 = v0 . 2 -2 12 000 = v0 . 1/4 12 000 .4 = v0 v0 = 48 000
O valor da máquina quando ela foi comprada era de R$ 48 000,00.
Ver Resposta2. (PUCC-SP) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r km a partir do seu centro é dado por P(r) = k . 23r, em que k é constante e r > 0.
Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?
P(r) = k . 23r 98 304 = k . 23.5 98 304 = k . 215 k = 98 304/215 P (3) = k. 23.3 P (3) = k . 29 P (3) =( 98 304/215 ). 29 P (3) = 98 304/26 P(3) = 1536
1536 é o número de habitantes num raio de 3 km do centro.
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Matemática no Enem Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.