Logaritmo

Logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.

Desta forma, o logaritmo é a uma operação na qual queremos descobrir o expoente que uma dada base deve ter para resultar em uma certa potência.

Por esse motivo, para fazer operações com logaritmos é necessário conhecer as propriedades da potenciação.

Definição de logaritmo

Lê-se logaritmo de b na base a, sendo a > 0 e a ≠ 1 e b > 0.

Quando a base de um logaritmo for omitida, significa que seu valor é igual a 10. Este tipo de logaritmo é chamado de logaritmo decimal.

Como calcular um logaritmo?

O logaritmo é um número e representa um dado expoente. Podemos calcular um logaritmo aplicando diretamente a sua definição.

Exemplo

Qual o valor do log3 81?

Neste exemplo, queremos descobrir qual expoente devemos elevar o 3 para que o resultado seja igual a 81. Usando a definição, temos:

log3 81 = x ⇔ 3x = 81

Para encontrar esse valor, podemos fatorar o número 81, conforme indicado abaixo:

Substituindo o 81 por sua forma fatorada, na equação anterior, temos:

3x = 34

Como as bases são iguais, chegamos a conclusão que x = 4.

Consequência da definição dos logaritmos

• O logaritmo de qualquer base, cujo logaritmando seja igual a 1, o resultado será igual a 0, ou seja, loga 1 = 0. Por exemplo, log9 1 = 0, pois 90 =1.
• Quando o logaritmando é igual a base, o logaritmo será igual a 1, assim, loga a = 1. Por exemplo, log5 5 = 1, pois 51= 5
• Quando o logaritmo de a na base a possui uma potência m, ele será igual ao expoente m, ou seja loga am = m, pois usando a definição am = am. Por exemplo, log3 35 = 5.
• Quando dois logaritmos com a mesma base são iguais, os logaritmandos também serão iguais,ou seja, loga b = loga c ⇔ b = c.
• A potência de base a e expoente loga b será igual a b, ou seja alogab = b.

Propriedades dos Logaritmos

• Logaritmo de um produto: O logaritmo de um produto é igual a soma de seus logaritmos: Loga (b.c) = Loga b + loga c
• Logaritmo de um quociente: O logaritmo de um quociente é igual a diferença dos logaritmos: Loga = Loga b - Loga c
• Logaritmo de uma potência: O logaritmo de uma potência é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo: Loga bm = m . Loga b
• Mudança de base: Podemos mudar a base de um logaritmo usando a seguinte relação:

Exemplos

1) Escreva os logaritmos abaixo na forma de um único logaritmo.

a) log3 8 + log3 10 b) log2 30 - log2 6 c) 4 log4 3

a) log3 8 + log3 10 = log3 8.10 = log3 80 b) c) 4 log4 3 = log4 34 = log4 81

2) Escreva o log8 6 usando logaritmo na base 2

Cologaritmo

O chamado cologaritmo é um tipo especial de logaritmo expresso pela expressão:

cologa b = − loga b

Podemos ainda escrever que: