Matriz Inversa

A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n).

Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação.

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Mas o que é Matriz Identidade?

A Matriz Identidade é definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero). Ela é indicada por In:

Propriedades da Matriz Inversa

• Existe somente uma inversa para cada matriz
• Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente quando os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (In)
• A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: A = (A-1)-1
• A matriz transposta de uma matriz inversa também é inversa: (At) -1 = (A-1)t
• A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: (A-1 At)-1
• A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I

Exemplos de Matriz Inversa

Matriz Inversa 2x2

Matriz Inversa 3x3

Passo a Passo: Como Calcular a Matriz Inversa?

Sabemos que se o produto de duas matrizes é igual a matriz identidade, essa matriz possui uma inversa.

Observe que se a matriz A for inversa da matriz B, utiliza-se a notação: A-1.

Exemplo: Encontre a inversa da matriz abaixo de ordem 3x3.

Antes de mais nada, devemos lembrar que A . A-1 = I (A matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In).

Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz.

Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira matriz pelas colunas da segunda.

E por fim, a terceira linha da primeira com as colunas da segunda:

Fazendo a equivalência dos elementos com a matriz identidade, podemos descobrir os valores de:

a = 1 b = 0 c = 0

Sabendo esses valores, podemos calcular as outras incógnitas da matriz. Na terceira linha e primeira coluna da primeira matriz temos que a + 2d = 0. Portanto, vamos começar por encontrar o valor de d, pela substituição dos valores encontrados:

1 + 2d = 0 2d = -1d = -1/2

Da mesma maneira, na terceira linha e segunda coluna podemos encontrar o valor de e:

b + 2e = 0 0 + 2e = 0 2e = 0 e = 0/2e = 0

Continuando, temos na terceira linha da terceira coluna: c + 2f. Note que segunda a matriz identidade dessa equação não é igual a zero, mas igual a 1.

c + 2f = 1 0 + 2f = 1 2f = 1f = ½

Passando para a segunda linha e a primeira coluna vamos encontrar o valor de g:

a + 3d + g = 0 1 + 3. (-1/2) + g = 0 1 – 3/2 + g = 0 g = -1 + 3/2g = ½

Na segunda linha e segunda coluna, podemos encontrar o valor de h:

b + 3e + h = 1 0 + 3 . 0 + h = 1h = 1

Por fim, vamos encontrar o valor de i pela equação da segunda linha e terceira coluna:

c + 3f + i = 0 0 + 3 (1/2) + i = 0 3/2 + i = 0i = 3/2

Depois de descobertos todos os valores das incógnitas, podemos encontrar todos os elementos que compõem a matriz inversa de A:

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Cefet-MG) A matriz é inversa de Pode-se afirmar, corretamente, que a diferença (x-y) é igual a:

a) -8 b) -2 c) 2 d) 6 e) 8

Alternativa e: 8

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2. (U.F. Viçosa-MG) Sejam as matrizes:

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:

a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

Alternativa a: 3/2

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3. (PUC-MG) A matriz inversa da matriz é igual a:

a) b) c) d) e)

Alternativa b:

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Leia também:

• Matrizes - Exercícios
• Matrizes e Determinantes
• Tipos de Matrizes
• Matriz Transposta
• Multiplicação de Matrizes

Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.