Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:

Sendo:

a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º) b: cateto c: cateto h: altura relativa à hipotenusa m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Semelhança e relações métricas

Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:

Usando que encontramos a proporção:

Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:

Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:

Teorema de Pitágoras

A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.

Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:

Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:

Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:

A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Exemplos

1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:

Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y. Usando a relação: a = m + n y = 9 + 3 y = 12

Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim: x2 = 12 . 3 = 36

2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.

Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n

Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n a = 16 + 9 = 25 Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m

Fórmulas

Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.

Para saber mais, leia também:

• Trigonometria no Triângulo Retângulo
• Exercícios de Trigonometria
• Triângulo Retângulo
• Razões Trigonométricas
• Seno, Cosseno e Tangente
• Relações Trigonométricas
• Fórmulas de Matemática

Exercícios Resolvidos

1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida da altura relativa à hipotenusa b) a área do triângulo

a)

b)

2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5