Retas Perpendiculares

Duas retas são perpendiculares quando ao se cruzarem formam um ângulo de 90º. Utilizamos o símbolo para indicar que duas retas são perpendiculares.

Podemos identificar se duas retas são perpendiculares analisando a relação entre seus coeficientes angulares.

Condição de Perpendicularismo

A reta r de coeficiente angular m1 e a reta s de coeficiente angular m2, serão perpendiculares se:

Assim, para duas retas serem perpendiculares é necessário que o coeficiente angular de uma seja igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.

Para chegar a essa condição, consideramos que a inclinação das retas r e s são respectivamente , conforme a figura abaixo:

No triângulo ABC da figura identificamos a seguinte relação:

Calculando a tangente dos dois lados da equação, temos:

Lembrando que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno deste ângulo, então:

Usando as relações de soma de arcos:

Sendo sen 90º = 1 e cos 90º = 0 e substituindo esses valores na equação acima, encontramos:

Considerando

e que

temos:

Conforme queríamos demonstrar.

Exemplo

Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (1,4) e é perpendicular à reta r cuja equação é x - y -1 = 0.

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta s. Como ela é perpendicular a reta r, vamos considerar a condição de perpendicularismo.

Como s passa pelo ponto (1,4), podemos escrever:

Assim, a equação da reta s, perpendicular a reta r e que passa pelo ponto P é:

Para saber mais, leia também Equação da Reta.

Método Prático

Quando conhecemos a equação geral de duas retas, podemos verificar se são perpendiculares através dos coeficientes de x e de y.

Assim, dadas as retas r: ar x + br y + cr = 0 e s: as x + bs y + cs = 0, elas serão perpendiculares se:

ar.as + br.bs = 0

Exercícios Resolvidos

1) São dados os pontos A(3,4) e B(1,2). Determine a equação da mediatriz de .

A mediatriz é uma reta perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio. Calculando esse ponto temos:

Calculando o coeficiente angular da reta:

Como a mediatriz é perpendicular, temos:

Assim, a equação da mediatriz será:

y-3 = -1 (x-2) = x +y - 5 = 0

2) Determine a equação da reta s, perpendicular a reta r de equação 3x + 2y - 4 = 0, no ponto em que esta intersecta o eixo das abscissas.

O coeficiente angular da reta r é mr =

Quando a reta intersecta o eixo das abscissas, y = 0, assim

3x+2.0-4=0

x=

O coeficiente angular da reta perpendicular, será:

Assim, a equação da reta perpendicular é:

Para saber mais, leia também

• Mediatriz
• Retas
• Retas Paralelas
• Retas Concorrentes