Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x2 - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros.
Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:
Sendo,
x1 e x2: raízes da equação do 2º grau a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau
Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.
Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.
Como encontrar esses números?
Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a . Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.
Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.
Para tal, teremos as seguintes situações:
- P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.
- P > 0 e S
- P 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.
- P
Exemplos
a) Encontre as raízes da equação x2 - 7x + 12 = 0
Nesse exemplo temos:
Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12. Sabemos que:
- 1 . 12 = 12
- 2 . 6 = 12
- 3 . 4 = 12
Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7. Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7
b) Encontre as raízes da equação x2 + 11x + 24
Procurando o produto igual a 24, temos:
- 1 . 24 = 24
- 2 . 12 = 24
- 3 . 8 = 24
- 4 . 6 = 24
Como o sinal do produto é positivo e o da soma é negativo (- 11), as raízes apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são - 3 e - 8, pois - 3 + (- 8) = - 11.
c) Quais são as raízes da equação 3x2 - 21x - 24 = 0?
O produto poderá ser:
- 1 . 8 = 8
- 2 . 4 = 8
Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo.
Assim, as raízes procuradas são 8 e (- 1), pois 8 - 1 = 7
d) Encontre as raízes da equação x2 + 3x + 5
O único produto possível é 5.1, contudo 5 + 1 ≠ - 3. Desta forma, não é possível encontrar as raízes por esse método.
Calculando o discriminante da equação descobrimos que ∆ = - 11, ou seja, essa equação não possui raízes reais (∆
Para saber mais, leia também:
- Equação do Segundo Grau
- Fórmula de Bhaskara
Exercícios Resolvidos
1) O valor do produto das raízes da equação 4x2 + 8x - 12 = 0 é:
a) - 12 b) 8 c) 2 d) - 3 e) não existe
Alternativa d: - 3
Ver Resposta2) A equação x2 - x - 30 = 0 apresenta duas raízes iguais a:
a) - 6 e - 5 b) - 1 e - 30 c) 6 e - 5 d) 30 e 1 e) - 6 e 5
Alternativa c: 6 e - 5
Ver Resposta3) Se 1 e 5 são as raízes da equação x2 + px + q = 0, então o valor de p + q é :
a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2
Alternativa b: - 1
Ver Resposta Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.