Teorema de Laplace

O Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n. Normalmente, é utilizado quando as matrizes são de ordem igual ou superior a 4.

Esse método foi desenvolvido pelo matemático e físico Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Como Calcular?

O teorema de Laplace pode ser aplicado a qualquer matriz quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.

Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:

Cofator

O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:

Aij = (-1) i + j. Dij

Onde

Aij: cofator de um elemento aij i: linha onde se encontra o elemento j: coluna onde se encontra o elemento Dij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Exemplo

Determine o cofator do elemento a23, da matriz A indicada

Solução

Para calcular o cofator do elemento a23, vamos começar calculando o determinante da matriz resultante da eliminação da linha 2 e da coluna 3.

Assim, vamos calcular o determinante dessa matriz:

O cofator será encontrado substituindo o valor de D23 na expressão, conforme indicado abaixo:

A23 = (-1)2+3 . 1 = -1

O cofator A23, do elemento a23 da matriz dada, é igual a -1.

Agora que já sabemos determinar o cofator de um elemento de uma matriz, podemos então aplicar o teorema de Laplace para calcular o seu determinante.

Exemplo

Encontre o determinante da matriz B, indicada abaixo.

Solução

Vamos selecionar a linha 1, já que nela há um elemento igual a zero.

O determinante será encontrado fazendo:

A partir daqui, como zero multiplicado por qualquer número é zero, o cálculo fica mais simples, pois neste caso a14 . A14 não precisa ser calculado.

Vamos então calcular cada cofator:

Note que para determinar o cofator é necessário calcular o determinante de cada matriz de ordem 3 indicada acima. Para esse tipo de matriz, o método mais fácil é aplicar a regra de Sarrus.

Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante, temos:

D = 4 . 41 + 5 . (-7) + (-3) . (-27) = 164 - 35 + 81 = 210

Chegamos ao resultado 210, que é o determinante dessa matriz 4x4 ou matriz de 4.ª ordem.

Exercício Resolvido

Utilizando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz 5x5 indicada abaixo.

Solução

Na primeira coluna da matriz, quase todos os elementos são iguais a zero. Para facilitar, vamos escolher essa coluna.

O determinante será encontrado fazendo-se:

D = 1 . A11 + 0 . A21 + 0 . A31 + 0 . A41 + 0 . A51

O único cofator que teremos que calcular é o A11, pois os demais serão multiplicados por zero. O valor de A11 será encontrado fazendo:

Como deveremos calcular o determinante de uma matriz de ordem 4, vamos utilizar novamente o teorema de Laplace. Para este cálculo, escolhemos a primeira linha, pois esta apresenta apenas um valor diferente de zero.

D´= 4 . A´11 + 0. A'12 + 0 . A'13 + 0 . A'14

Para calcular o determinante D', precisamos apenas encontrar o valor de A'11, pois os demais cofatores estão multiplicados por zero.

Desta forma D' será igual a:

D' = 4 . (-12) = - 48

Podemos então calcular o determinante procurado, substituindo esse valor na expressão do A11:

A11 = 1. (-48) = - 48

Assim, o determinante será dado por:

D = 1. A11 = - 48

Portanto, o determinante da matriz de ordem 5, é igual a - 48.