Triângulo de Pascal é um triângulo aritmético infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões binominais. Os números que compõem o triângulo apresentam diversas propriedades e relações.
Essa representação geométrica foi estudada pelo matemático chinês Yang Hui (1238-1298) e por muitos outros matemáticos.
Entretanto, os estudos mais famosos foram do matemático italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1499-1559) e do matemático francês Blaise Pascal (1623-1662).
Sendo que Pascal estudou mais profundamente o triângulo aritmético e provou várias de suas propriedades.
Na antiguidade, esse triângulo era usado para o cálculo de algumas raízes. Mais recentemente, ele é utilizado no cálculo de probabilidades.
Além disso, os termos do binômio de Newton e da sequência de Fibonacci podem ser encontrados a partir dos números que constituem o triângulo.
Coeficiente Binomial
Os números que compõem o triângulo de Pascal são chamados de números binomiais ou coeficientes binomiais. Um número binomial é representado por:
Com n e p números naturais e n ≥ p. O número n é denominado numerador e o p denominador.
O número binomial é calculado a partir da relação:
Sendo,
Cn,p: combinação simples de n elementos tomados p a p n!: fatorial de n, ou seja, n.(n - 1).(n - 2)...3.2.1 p!: fatorial de p, ou seja, p.(p - 1).(p - 2)...3.2.1
VEJA TAMBÉM: Análise CombinatóriaConstrução do Triângulo
O triângulo de Pascal é construído colocando-se os números binomiais de mesmo numerador na mesma linha e os coeficientes de mesmo denominador na mesma coluna. Assim, temos:
Ao calcular os valores dos coeficientes, encontramos a seguinte representação do triângulo de Pascal:
Propriedades
1.ª) Todas as linhas têm o número 1 como seu primeiro e último elemento.
De fato, o primeiro elemento de todas as linhas é calculado por:
e o último elemento de todas as linhas é calculado por:
2.ª) O restante dos números de uma linha é formado pela adição dos dois números mais próximos da linha acima.
Essa propriedade é chamada de Relação de Stifel e é expressa por:
É possível verificar a relação de Stifel diretamente no triângulo de Pascal, porque a partir da segunda linha, cada elemento é igual à soma do elemento acima com o seu anterior.
3.ª) Os elementos de uma mesma linha equidistantes dos extremos têm valores iguais.
Exemplos
a)
b)
4.ª) A soma dos elementos de uma linha de numerador (n) será igual a 2n.
Observe a tabela abaixo:
Binômio de Newton
O Binômio de Newton é a potência da forma (x+y)n, sendo x e y números reais e n um número natural. Para valores pequenos de n a expansão do binômio pode ser feita multiplicando seus fatores.
Contudo, para expoentes maiores esse método pode se tornar muito trabalhoso. Assim, podemos recorrer ao triângulo de Pascal para determinar dos coeficientes binomiais dessa expansão.
Podemos representar a expansão do binômio (x+y)n, como:
Note que os coeficientes da expansão correspondem aos números binomiais, e esses números são os que formam o triângulo de Pascal.
Assim, para determinar os coeficientes da expansão (x+y)n , devemos considerar a linha n correspondente do triângulo de Pascal.
Exemplo
Desenvolva o binômio (x + 3)6:
Solução:
Como o expoente do binômio é igual a 6, iremos utilizar os números relativos a 6.ª linha do triângulo de Pascal para os coeficientes dessa expansão. Assim, temos:
6ª linha do triângulo de Pascal: 1 6 15 20 15 6 1
Esses números serão os coeficientes do desenvolvimento do binômio.
(x + 3)6 = 1 . x6. 30 + 6 . x5. 31+15 . x4. 32 + 20 . x3. 33 + 15 . x2. 34 + 6 . x1. 35+1. x0. 36
Resolvendo as operações encontramos a expansão do binômio:
(x + 3)6 = x6 +18 . x5 +135 x4 + 540 x3 + 1215 x2 + 1458 x + 729
Para saber mais, leia também:
- Probabilidade
- Exercícios de Probabilidade
- Fatorial
- Blaise Pascal
- Sequência de Fibonacci
Exercícios Resolvidos
1) Determine o 7º termo do desenvolvimento de (x+1)9.
84x3
Ver Resposta2) Calcule o valor das expressões abaixo, usando as propriedades do triângulo de Pascal.
a) 24 = 16 b) 30 c) 70
Ver Resposta Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.