A forma paramétrica de uma reta é mais uma de suas representações, assim como as formas: geral, segmentária e reduzida. O diferencial dessa representação é que podemos definir uma reta por meio de um parâmetro que chamamos de 𝑡, uma terceira variável, além das coordenadas cartesianas usuais. Sua definição é melhor compreendida quando o conceito de vetores já for apresentado. Vamos a sua definição:
Uma reta é chamada de parametrizada quando está na forma:
\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}
Onde 𝑓(𝑡) e 𝑔(𝑡) são funções do primeiro grau e dependentes do parâmetro 𝑡. Por exemplo, seja uma reta 𝑟 definida como:
\begin{cases}x=t+1\\y=2t\end{cases}
Se fizermos, para 𝑡 = 2, temos:
\begin{cases}x=t+1\\y=2t\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=2+1\\y=2\cdot 2\end{cases}\Rightarrow(x,y)=(3,4)
Vemos que o ponto (3,4) é um ponto desta reta.
É interessante transformarmos uma equação paramétrica em uma equação reduzida da reta e vice-versa. Vejamos como se faz:
1) Vamos obter a equação reduzida da reta parametrizada abaixo:
\begin{cases}x=2t-1\\y=t+2\end{cases}
Primeiramente, podemos isolar 𝑡 de qualquer uma das duas equações. Vamos isolar da segunda:
y=t+2
t=y-2
Isolado o parâmetro 𝑡 podemos substituir na primeira equação:
x=2t-1
x=2(y-2)-1
x=2y-4-1
x=2y-5
Por fim, encontramos a forma geral:
x-2y+5=0
Agora, para a forma reduzida, que é aquela onde isolamos o 𝑦:
x-2y+5=0
-2y=-x-5
2y=x+5
y=\frac{x}{2}+\frac{5}{2}
Obtendo assim a forma reduzida da reta.
2) Vamos por exemplo transformar a equação geral 𝑦 = 3𝑥 + 1 numa equação parametrizada. Primeiro, podemos escolher uma expressão em função de 𝑡 arbitrária para substituir em qualquer uma das variáveis, desde que essa função seja do primeiro grau. Sendo assim, por praticidade vamos escolher 𝑦 = 3𝑡 + 4:
y=3t+4
3x+1=3t+4
Agora, isolamos 𝑥 para descobrirmos o parâmetro em função de 𝑡 para 𝑥:
3x=3t+4-1
3x=3t+3
x=t+1
Agora, temos a nossa reta parametrizada em funções de 𝑡 para 𝑥 e 𝑦:
\begin{cases}x=t+1\\y=3t+4\end{cases}
Podemos ainda fazer o processo inverso para testarmos se a parametrização está de acordo com a equação reduzida da reta, isolando 𝑡 em 𝑥 neste caso:
x=t+1
t=x-1
Substituindo em 𝑦:
y=3t+4
y=3(x-1)+4
y=3x-3+4
Por fim, reencontrando a equação reduzida da expressão:
y=3x+1
Num estudo mais aprofundado de parametrizações, é possível que qualquer reta ou curva no espaço possa ser parametrizada em funções de 𝑡, parábolas, hipérboles, elipses entre outras curvas. Vale a pena pesquisar sobre esse tema,onde a área da matemática que, inicialmente, explora as parametrizações de curvas, é chamada de Geometria Diferencial.
Referências Bibliográficas:
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,2000.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 3. São Paulo: Editora Ática, 2011.