Para darmos início ao estudo da composição de funções, vamos relembrar a definição de aplicações (ou funções):
Definição 1: Uma função f (ou aplicação) é uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:
f : A → B
Lê-se: f de A em B
Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertença ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:
y = f(x) \leftrightarrow \{x \in A \text{ e } y \in B\}
Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:
Composição de funções
Uma função composta é aquela em que existem duas funções f e g onde o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f. Em alguns casos o contrário também pode ser feito, bem como podemos compor duas funções iguais, ou seja, f e f ou g e g. Veja a seguir a definição de composição de funções:
Definição 2: Sejam f:A → B e g: B → C duas aplicações. Dizemos que a aplicação de f e g é composta quando:
h(x) = g o f = g(f(x))\qquad \forall x \in A
Suponha três elementos a, b e c tais que: a \in A, b \in B, c \in C. Podemos representar no diagrama a composição g o f como:
Observações:
- A composta de f e g só é definida quando o contradomínio de f coincide com o domínio de g. No nosso exemplo representado pelo conjunto B;
- A composta de f e g tem o mesmo domínio de f (conjunto A) e o mesmo contradomínio de g (conjunto C);
- Quando A=C, ou seja, f:A → B e g:B → A, então podemos definir também uma composta de g e f que será h(x) = f o g = f(g(x)) que resultará numa função h:B → B.
- Sejam as funções f:A → B e g:B → A, então existem f o g e g o f porém é importante lembrar que f o g ≠ g o f.
Associatividade de composições
Se existem três funções tais que f:A → B, g:B → C e h:C → D então a operação de composição entre as funções obedecerá a lei de associatividade, onde:
(h o g) o f = h o (g o f)
Logo:
h o g o f: A → D
Definição 3: Se f: A → B e g: B → C são funções injetoras, então g o f é injetora.
Definição 4: Se f: A → B e g: B → C são funções sobrejetoras, então é sobrejetora.
Definição 5: Sejam f: A → B e g: B → A então f e g são bijetoras e também g é a função inversa de f, logo g(x) = f-1(x).
Os conceitos e definições apresentados acima são de extrema importância quando estudamos composições de funções. Agora seguem alguns exemplos:
Exemplo 1) Sejam as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+} definida como f(x) = 2^x e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sendo g(x) = \sqrt{x}. Vamos analisar a composição g o f.
Pela definição 5 podemos então dizer que:
\text{g o f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
O que nos garante então:
\text{g o f} = g(f(x))
g(f(x)) = \sqrt{f(x)}
g(f(x)) = \sqrt{2^x}
Exemplo 2) Sejam as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tais que f(x) = 2x e g(x) = x3. A composição g o f será:
g o f = g(f(x))
g o f = (f(x))3
g o f = (2x)3
g o f = 8x3
Podemos também, por definição gerar outras composições, tais como:
f o g = f(g(x)) f o g = 2(g(x)) f o g = 2x3
f o f = f(f(x)) f o f = 2(f(x)) f o f = 2(2x) f o f = 4x
g o g = g(g(x)) g o g = (g(x))3 g o g = (x3)3 g o g = x9
Exemplo 3) Vejamos agora, uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x) = x+2. Podemos compor uma função f o f. Com isso temos:
f o f = f(f(x))
f o f = f(x) + 2
f o f = (x+2)+2
f o f = x+4
Referências Bibliográficas:
DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.
ANDRADE, Lenimar Nunes de. Introdução à Álgebra: Questões Comentadas e Resolvidas. João Pessoa: Edição do Autor, 2014.