Uma função identidade (ou função inclusão) é uma função que possui a imagem de cada elemento como o próprio elemento. Uma função identidade é necessariamente bijetora, o que remete a sua definição. Relembrando, uma função é dita bijetora quando a mesma é injetora e sobrejetora. Vamos formalizar o conceito apresentado:
Dado um conjunto A \neq \emptyset, a aplicação Id_A : A \rightarrow A dada pela lei Id_A (x) = x é chamada função identidade do conjunto A. Para cada conjunto A existe uma função identidade e, assim, se A \neq B, então Id_A \neq Id_B.
Proposição: Se é uma função bijetora, então as composições f o f-1 = IdA e também f-1 o f = IdB. Vamos demonstrar:
1. Se f é uma aplicação bijetora, então, pela definição de função inversa, f^{-1} : B \rightarrow A.
2. Dado um x \in B, temos:
(f o f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) portanto f o f^{-1} = Id_A
3. Agora, dado um x \in A:
(f^{-1} o f)(x) = f^{-1}(f(x)) portanto f^{-1} o f = Id_B
Nota: Em Álgebra, dizemos que as funções identidade são elementos neutros na operação de composição de funções.
Gráfico das Funções Identidade
Seja uma função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x) = x. Então pela definição de funções afim, a=1 e b=0, o gráfico de uma função identidade é chamada de bissetriz dos quadrantes impares, que passam pelo 1º e 3º quadrante e na origem do eixo cartesiano (0, 0).
No estudo das funções inversas, podemos observar que a função identidade divide o gráfico de f e f-1 de uma forma simétrica em relação a reta y=x. Observe o exemplo abaixo:
Referências Bibliográficas:
LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.
DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.