Podemos classificar funções matemáticas a partir de algumas propriedades que as definem. Vamos estudar funções injetoras, porém vale relembrar o conceito de função:
Uma função f (ou aplicação) é uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:
f : A → B
Lê-se: f de A em B
Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:
y = f(x) \longleftrightarrow \{x \in A\text{ e }y \in B\}
Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:
Função injetora
Dizemos que uma aplicação f: A → B é injetora (pode ser chamada de injetiva, biunívoca ou uma injeção) quando elementos distintos de A possuem imagens distintas em B, satisfazendo a condição:
(\forall x_1, x_2 \in A) x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)
Lê-se: Para quaisquer x1, x2 pertencentes ao conjunto A onde x1 é diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2).
Também é chamada de função injetora quando a mesma satisfaz esta condição:
(\forall x_1, x_2 \in A) x_1 = x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2)
Lê-se: Para quaisquer x1, x2 pertencentes ao conjunto A onde x1 é igual a x2 então f(x1) é igual a f(x2).
Um exemplo formal de uma função injetiva é a inclusão do tipo i: A → B que é definida quando A é subconjunto de B, logo i(x) = x para qualquer x \in A.
Exemplo 1) Analisando a função f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = x^2 +1 vemos que ela não é injetiva, pois existem dois elementos distintos em \mathbb{R} que não satisfazem a condição de injeção, veja abaixo:
Se x=1 temos que: f(1) = (1)^2 + 1 = 1+1 = 2
Se x=-1 temos que: f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1+1 = 2
Se para dois valores de x distintos obtivermos o mesmo valor em y então esta função não pode ser classificada como injetora.
Exemplo 2) Seja a função f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} dada por f(x) = 5x. Ela é injetiva, pois para quaisquer elementos x distintos de \mathbb{R} o seu valor correspondente em y será sempre diferente de x, satisfazendo a nossa condição:
(\forall x_1, x_2 \in A) x_1 \neq x_2 \Rightarrow 5x_1 \neq 5x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)
Classificação de uma Função Injetora pelo seu Gráfico
Dado o gráfico de uma função f podemos identificar se ela é injetiva ou não. Se uma função é injetora então não há elementos do conjunto imagem que sejam imagens de mais de um elemento do domínio. Então, se traçarmos linhas paralelas ao eixo x do gráfico da função e estas interceptarem a função em mais de um ponto em relação ao eixo y então dizemos que esta função não é injetiva. Veja abaixo os exemplos:
Esta função acima não é injetora, pois se traçarmos linhas horizontais sobre o gráfico percebemos que estas linhas interceptam a função em mais de um ponto da reta.
Esta função acima é injetora. Observe que em cada reta horizontal intercepta o gráfico da função em um único ponto.
Leia também:
- Função sobrejetora
- Função bijetora
- Funções matemáticas
Referências Bibliográficas:
LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.
DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.