Antes de apresentarmos o conceito de funções inversas é necessário entendermos a definição formal de imagem direta e imagem inversa.
Considere uma função dada por f: E → F onde o conjunto E é o domínio da função e F o contradomínio:
Imagem Direta: Seja um conjunto A tal que A ⊂ E, chamamos de imagem direta de A segundo f, a função indicada por f(A) o seguinte subconjunto de F:
f(A) = {f(x) : x ∈ A}
Em outras palavras, f(A) é o conjunto das imagens de f dos elementos de A.
Imagem Inversa: É chamado imagem inversa de um conjunto B tal que B ⊂ F, segundo a função f o seguinte subconjunto de E:
f-1(B) = {x ∈ E : f(x) ∈ B}
Dizemos então que f-1(B) é o conjunto dos elementos de E que tem imagem em B.
Seguindo então pela definição de imagem inversa enunciamos o conceito de função inversa. Seja uma função definida como f:E → F. Dizemos que a função f admite uma inversa f-1: F → E, se, e somente se, as composições abaixo forem verdadeiras, onde Id é a chamada Função Identidade. Desta forma:
f o f-1 = IdF – Quando inversa à direita
f-1 o f = IdE – Quando inversa à esquerda
Uma função só admite inversa à esquerda, se, e somente se, a função for Injetora, e à direita se a função for Sobrejetora. Em outras palavras, quando uma função admite uma inversa, o domínio da função f será o contradomínio da função f-1.
Vale lembrar que nem todas as funções admitem uma inversa, ou seja, nem todas as funções são invertíveis mesmo que o seu domínio seja um conjunto não vazio. Quando isto ocorre, dizemos que:
f-1(x) = ∅
Obtendo a inversa de funções reais
Se tratamos de uma função definida nos reais, tal que f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função bijetora onde y = f(x), então para obtermos a sua inversa podemos reescrever a função da forma x = g(y) tal que x dependa de y. Com isso temos que esta nova função g(y) = f-1.
Gráfico de funções inversas
O gráfico de uma função inversa f-1 possui uma simetria em relação a função f. Vejamos abaixo um exemplo onde podemos notar que há uma simetria com a reta y=x entre uma função f e f-1 e que os pontos correspondentes ao eixo de simetria y=x de ambas as funções são equidistantes:
Exemplo 1) Sejam a função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} com f(x) = 2x+1. Para obtermos a sua inversa devemos encontrar uma função que satisfaça a condição x=g(y). Algebricamente podemos trocar a variável x pela variável y na função original, da seguinte maneira:
y = 2x+1
x = 2y+1
Agora, isolando y nesta nova expressão obteremos uma função x=g(y). Sendo assim:
x = 2y+1
2y = 1-x
y = \frac{1-x}{2} = f^{-1}(x)
Com isso temos a função inversa. Note agora a comparação dos gráficos de f e f-1. Percebemos que existe uma simetria entre as duas retas:
Exemplo 2) Agora, seja a função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} com f(x) = \sqrt[3]{x+4}. Vamos obter a sua inversa:
y = \sqrt[3]{x+4}
y^3 = x+4
x^3 = y+4
y = x^3 - 4 = f^{-1}(x)
Esboçando o gráfico de ambas as funções, também percebemos uma simetria em relação à equação y=x:
Referências bibliográficas:
LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.