Vamos relembrar o conceito de módulo (ou valor absoluto) de um número real:
O módulo de um número real r é representado por |r| onde:
|r| = r se r ≥ 0
|r| = -r se r < 0
E também, algumas propriedades envolvendo os módulos de números reais, algumas delas são:
|x| \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
|x| = 0 \Rightarrow x = 0
|x| \geq x \quad \forall x \in \mathbb{R}
|x| \geq |-x| \quad \forall x \in \mathbb{R}
|x^2| = |x|^2 = x^2
|x+y| \leq |x| + |y|
|x-y| \geq |x| - |y|
|x \cdot y| = |x| \cdot |y|
|\frac{x}{y}|= \frac{|x|}{|y|}
||x| - |y|| \leq |x - y|
Função modular
Agora, definimos uma função modular como:
Seja uma função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e dada por f(x) = |x| então:
f(x) = \begin{cases}x,&\text{ se } x \geq 0\\-x,&\text{ se } x < 0\end{cases}
Uma alusão interessante para as funções modulares é que podemos imaginar que o eixo x é um espelho para o gráfico das funções. Tudo que está abaixo da origem do plano cartesiano no eixo y, ou seja, valores negativos de y, não assumirá valores. Vejamos abaixo o exemplo de duas funções:
f(x) = x
f(x) = |x|
Exemplo 1) Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x) = |x^2 - 6x + 5|, o seu gráfico é dado por:
Exemplo 2) Seja a função f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x) = |sen x|, o seu gráfico é dado por:
Exemplo 3) Agora a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x) = |x-1| + |x-3|. Para construir este gráfico devemos considerar primeiro a solução da equação modular na qual ela é definida. Para isso é necessário atribuir algumas condições eliminando os módulos das funções segundo as propriedades apresentadas. Veja abaixo:
1) Se x \geq 3 = \begin{cases}|x-1| = x-1\\|x-3| = x-3\end{cases}
Então podemos dizer que:
f(x) = (x-1) + (x-3) = x-1 + x - 3 = 2x-4
2) Se 1 \leq x < 3 = \begin{cases}|x-1| = x-1\\|x-3| = -(x-3) = -x+3\end{cases}
Logo:
f(x) = (x-1) + (-x+3) = x-1-x+3 = 2
3) Se x < 1 = \begin{cases}|x-1| = -(x-1) = -x+1\\|x-3| = -(x-3) = -x+3\end{cases}
Então:
f(x) = (-x+1) + (-x+3) = -x+1-x+3 = -2x+4
4) Concluindo que a nossa função terá como condições:
f(x) = \begin{cases}2x-4,&\quad \text{ se } x \geq 3\\2,&\quad \text{ se } 1 \leq x < 3\\-2x+4,&\quad \text{ se } x < 1\end{cases}
O seu gráfico então será dado por:
Exemplo 4) Vamos determinar o gráfico de f(x) = |x-1| + 2. Eliminando os módulos segundo as propriedades, temos que:
f(x) = \begin{cases}x+1,&\quad \text{ se } x \geq 1\\-x+3,&\quad \text{ se } x < 1\end{cases}
O seu gráfico será dado por:
Referências Bibliográficas:
LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.