Uma função é dita polinomial quando dado uma função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a sua lei é dada por um polinômio de grau n. Relembrando o conceito de polinômios, podemos representar uma função polinomial de uma forma genérica como:
f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1 x^1 + a_0 x^0
Ou ainda, pela notação de somatório:
\displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i
Onde an, an-1, an-2, ... a1 e a0 e são as constantes que chamamos de coeficientes do polinômio e xn, xn-1, ... x0 são as variáveis da função.
Grau
O grau de uma função polinomial é classificado pelo valor do expoente n a variável x do polinômio, sendo que deve ser um inteiro positivo e maior ou igual a zero, ou seja: n \in \mathbb{N}, n \geq 0.
Exemplo 1) Funções afim são funções polinomiais do primeiro grau. Note que o expoente de x na função é igual a 1:
f(x) = a_1 x^1 + a_0 x^0
Ou pode ser escrita como:
f(x) = ax+b
Note que o termo constante b é igual a a_0 x^0.
Exemplo 2) Funções quadráticas são classificadas como funções de grau 2, ou funções do 2º grau. Veja:
f(x) = a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0 x^0
Ou também:
f(x) = ax^2 + bx + c
Neste caso c = a_0 x^0.
Exemplo 3) Uma função do terceiro grau, naturalmente é escrita como:
f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0 x^0
Outra forma:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Exemplo 4) Funções constantes, aquelas em que não possuem variáveis, são classificadas como funções de grau zero. Note:
f(x) = a_0 x^0 = a_0
Exemplo 5) Uma função do tipo f(x) = (x^2 + 2)^2 é de quarto grau, pois, desenvolvendo o produto temos:
f(x) = x^4 + 4x^2 + 4
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.