Funções de segundo grau ou funções quadráticas são ferramentas muito importantes para a matemática e é um conceito bem simples de entender quando estamos habituados a resolver equações do segundo grau. Uma função quadrática é toda função da forma f(x)=ax^2+bx+c, sendo 𝑎 ≠ 0.
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola e o sinal de 𝑎 irá determinar o sentido da sua concavidade, veja abaixo exemplos de duas funções quadráticas simples e a diferença entre os seus gráficos:
𝑎 > 0 – Concavidade para cima
f(x)=x^2
𝑎 < 0 – Concavidade para baixo
f(x)=-x^2
Gráfico de uma função quadrática
Construir o gráfico de funções do segundo grau é uma tarefa que depende dos valores não só da constante 𝑎, mas também de suas raízes, dos valores das outras constantes 𝑏 e 𝑐, e também do delta da equação. Vamos por partes:
1) O vértice da parábola:
O vértice é o ponto máximo ou o ponto mínimo que a parábola assume. Seja o ponto (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) como aquele que representa o vértice da parábola. Para obtermos essas coordenadas, basta calcular a seguinte relação:
Dada a função f(x)=ax^2+bx+c, o vértice (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é dado por:
x_v=-\frac{b}{2a}
y_v=-\frac{\Delta}{4a}\rightarrow-\frac{(b^2-4ac)}{4a}
Obs.: Se 𝑎 > 0, dizemos que (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é o ponto mínimo da função. Já, se 𝑎 < 0 então (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) é o ponto máximo.
2) Pontos onde a parábola toca o eixo 𝒙:
Se a parábola intercepta o eixo x, dizemos então que esses dois pontos são as raízes da equação quadrática. Então, dada a expressão da função, é interessante resolvê-la como uma equação do segundo grau comum, igualando-a a zero. Utilizando a equação de Bháskara é possível obter as raízes da função do segundo grau, ou seja:
f(x)=ax^2+bx+c=0
Onde,
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
Em outras palavras, podemos dizer que os pontos em que a parábola toca o eixo 𝑥,são descritos por dois pontos 𝑥1 e 𝑥2 no eixo cartesiano, de modo que:
x_1\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},0\right)
x_2\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},0\right)
Obs.: Vale recordar que, se a parábola não tiver raízes contidas no corpo dos reais,ainda é possível construir o seu gráfico, mas ela não irá tocar o eixo 𝑥 nesses pontos.
3) O ponto onde a parábola toca o eixo 𝒚:
Se a parábola intercepta o eixo 𝑦 então este ponto é simplesmente o valor de 𝑐 na expressão. Vamos agora apresentar todos esses conceitos sobre a construção do gráfico de uma equação do segundo grau.
Exemplo 1) Vamos esboçar o gráfico da função dada por:
f(x)=x^2+5x+6
1º) A parábola terá a sua concavidade para cima, pois nesse caso 𝑎 = 1;
2º) A parábola irá tocar no eixo 𝑦 no ponto (0, 6);
3º) Calculando as raízes dessa equação pela fórmula de Bháskara, obtemos:
𝑥1 (−3 , 0)
𝑥2 (−2 , 0)
4º) Por fim, o seu vértice (ou o seu ponto de mínimo) será dado, com os seus valores já calculados, por:
(x_v,y_v)=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)
Tendo todos esses dados em mãos, podemos então esboçar o gráfico da função:
Note que no gráfico todos os elementos foram incorporados no seu esboço. Se você seguir todos os passos acima, é possível construir qualquer gráfico de uma função do segundo grau.
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.