O estudo de funções matemáticas é, de fato, um dos mais importantes e historicamente relevantes para a construção de toda a ciência. Neste caso, vamos abordar um pouco mais o formalismo matemático para definir o que vem a ser uma de suas estruturas mais importantes.
Definição 1: Uma função f (ou aplicação) é uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:
f : A → B
Lê-se f de A em B
Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:
y = f(x) \longleftrightarrow \{x \in A\text{ e }y \in B\}
Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:
Gráfico de uma função
Seja f : A → B uma função, dizemos que o seu gráfico é o subconjunto Gf , formado por todos os pares ordenados (x, y) ou (x, f(x)) no produto cartesiano (ou relação binária) A x B. Então:
G_f = \{(x, y) \in AxB : y = f(x)\} ou G_f = \{(x, f(x) : x \in A\text{ e }y \in B\}
Lê-se: O gráfico de f é o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y) pertencentes ao produto AxB, tal que y=f(x).
Então, seja uma função f : A → B onde y=f(x), dizemos que o seu gráfico deve ser o lugar geométrico composto por todos os pontos (x, f(x)).Tratamos x como uma variável independente e y a variável dependente, ou seja, y é função de x:
Domínio, contradomínio e imagem
Vamos analisar a função definida por: f : A → B, f(x) = x+1, sendo A = {1,2} e B = {2,3,4}. Veja abaixo o diagrama:
Explicando de uma forma simplificada as definições de domínio, contradomínio e imagem, podemos dizer que:
- Domínio: de onde partem as flechas;
- Contradomínio: os elementos que as flechas podem acertar;
- Imagem: os elementos foram atingidos pelas flechas.
Em linguagem formal, dizemos:
- Domínio: D(f) = A
- Contradomínio: CD(f) = B
- Imagem: Im(f) = {2, 3}
Funções de uma variável real
Quando dizemos que a função está definida no conjunto dos números reais então é usual representa-la por f de uma variável real e com domínio em \mathbb{R}. Sendo assim:
f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, f(x) = y
E o seu gráfico será definido por todos os pontos, tais que:
G_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y = f(x)\}
Exemplo 1: Seja a função f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} onde f(x) = x^3. Vamos determinar o seu domínio, o contradomínio, sua imagem e esboçar o seu gráfico.
Ora, o seu domínio está definido nos reais, pois para qualquer valor de x teremos sempre um correspondente em y nesta função. O mesmo ocorrerá com o seu contradomínio, pois qualquer de y em função de x estará contido no conjunto dos números reais. Então dizemos que:
D(f) = CD(f) = \mathbb{R}
Para esboçarmos o gráfico da função, num primeiro momento, é mais fácil estipular alguns valores de x para sabermos qual será o seu correspondente y. Podemos construir uma pequena tabela, como no exemplo abaixo, iniciando de -3 a 3:
| x | y=f(x) |
| -3 | -27 |
| -2 | -8 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
Obs: Estes valores de x foram escolhidos arbitrariamente, mas podem ser testados com quaisquer outros, desde que os mesmos sejam números reais. O gráfico da função deverá então estará definido, segundo a definição, no conjunto:
G_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y = x^3\}
E o seu esboço será, com x indo de -3 a 3:
Abaixo temos alguns exemplos de funções e seus respectivos domínios escritos também com outras notações.
| FUNÇÃO | DOMÍNIO |
| f(x) = \frac{1}{x} | D(f) = \{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\} ou D(f) = \mathbb{R} - \{0\} ou D(f) = \mathbb{R}^{*} |
| f(x) = \sqrt{x} | D(f) = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 0\} ou D(f) = \mathbb{R}_{+} ou D(f) = [0, +\infty[ |
| f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} | D(f) = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} ou D(f) = ]0, +\infty[ ou D(f) = \mathbb{R}_{+}^{*} |
| f(x) = \log x | D(f) = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} ou D(f) = ]0, +\infty[ ou D(f) = \mathbb{R}_{+}^{*} |
Leia também:
- Função afim
- Função bijetora
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- Função polinomial
- Função sobrejetora
- Funções trigonométricas
Referências Bibliográficas:
LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.