Quando estudamos equações do 1º grau lidamos com igualdades, ou seja, expressões em que precisamos encontrar um valor para a variável em questão. Porém, quando tratamos de uma inequação a nossa expressão conterá, ao invés do sinal de igual (=), outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos. Geralmente, o conjunto solução de inequações será definido no conjunto dos números Reais. Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais:
- Se x\geq y, dizemos que x é maior ou igual a y;
- Se x>y, então x é maior do que y;
- Se x\neq y, dizemos que x é diferente de y.
Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:
- Reflexiva: x\geq x
- Antissimétrica: x\geq y\text{ e }y\geq x\Rightarrow x=y
- Transitiva: x\geq y\text{ e }y\geq z\Rightarrow x\geq z
- Compatibilidade com a Adição: x\geq y\Rightarrow x+z\geq y+z
- Compatibilidade com a Multiplicação: x\geq y\text{ e }z\geq 0\Rightarrow xz\geq yz
Exemplo 1) Tomemos agora x, y, z e w, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados x\leq y e z\leq w.
Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que:
x\leq y \Rightarrow x+z\leq y+z
z\leq w \Rightarrow y+z\leq y+w
Agora, pela propriedade transitiva temos:
\left.\begin{aligned}x+z\leq y+z\\y+z\leq y+w\end{aligned}\right\} \Rightarrow x+z\leq y+w
Concluindo:
\left.\begin{aligned}x\leq y\\z\leq w\end{aligned}\right\} \Rightarrow x+z\leq y+w
Resolvendo equações do primeiro grau
Exemplo 2) Vamos resolver a equação: 3x+4