Quando estudamos equações do 2º grau lidamos com igualdades, ou seja, expressões em que precisamos encontrar as raízes da equação em questão. Porém, quando tratamos de uma inequação a nossa expressão conterá, ao invés do sinal de igual (=), outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos.
- Se x \geq y, dizemos que x é maior ou igual a y;
- Se x>y, então x é maior do que y;
- Se x \neq y, dizemos que x é diferente de y.
Resolvendo inequações do segundo grau
Para resolver uma inequação do 2º grau, é interessante primeiro resolver a equação normalmente e depois determinar as condições de existência em função de suas raízes e de sua desigualdade. Veja abaixo alguns exemplos:
Exemplo 1) Vamos resolver a equação dada por x^2 +5x+6\geq 0.
Se igualássemos a equação a zero e resolvê-la como uma equação comum do segundo grau obteríamos as raízes:
x^2 +5x+6=0
x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2 -4\cdot 6}}{2} = \frac{-5\pm 1}{2}
\begin{cases}x_1=-2\\x_2=-3\end{cases}
Agora devemos analisar ambas as raízes segundo a condição da equação dada onde a solução da equação deve ser maior ou igual a zero. Então devemos estudar o sinal de ambas as raízes obtidas separadamente e depois analisar a representação de ambas na reta, ou seja:
Se x for maior ou igual a -2, os valores da equação são maiores ou iguais a 0, o que cabe, analisando esta raiz a representação no intervalo:
Se x for menor ou igual a -3 então os valores de x também serão maiores que zero:
Sendo assim, o conjunto solução de nossa inequação será representado na reta como:
Ou pode ser escrito como:
S=\{x\in\mathbb{R}:x\leq -3\text{ ou }x\geq -2\}=]-\infty,-3]\cup[-2,+\infty[
Exemplo 2) Agora, vamos analisar a equação dada por x^2 +x-2\leq 0.
x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot(-2)}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}
\begin{cases}x_1=1\\x_2=-2\end{cases}
Analisando o sinal repetindo o mesmo procedimento acima, obtemos:
- Se x\geq 1, os valores da equação serão maiores ou igual zero.
- Se x\leq -2, os valores também serão maiores ou iguais a zero.
- Se -2\leq x\leq 1, então os valores serão menores do que zero, o que satisfaz a nossa condição de existência da equação. Logo:
E sua solução pode ser escrita como:
S=\{x\in\mathbb{R}:-2\leq x\leq 1\}=[-2,1]
Exemplo 3) Estudemos a equação x^2 -8x+15>0.
x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2 -4\cdot(15)}}{2}=\frac{8\pm 2}{2}
\begin{cases}x_1=5\\x_2=3\end{cases}
- Se x>5, os valores da equação serão maiores do que zero.
- Se x