Em matemática, podemos representar conjuntos, subconjuntos e soluções de equações pela notação de intervalo. Intervalo significa que o conjunto possui cada número real entre dois extremos indicados, seja numericamente ou geometricamente. Não é possível representar subconjuntos ou conjuntos que não sejam reais (ou contidos nos reais) pela notação de intervalo.
Vamos, por exemplo, dizer que o conjunto A é um subconjunto dos números naturais e que será representado por:
A = \{x \in \mathbb{N} : 1 < x < 2\}
Note que qualquer elemento de A pertence ao conjunto dos naturais, porém é um absurdo dizer que nos naturais existem números entre 1 e 2, ou seja, em ℕ não existe o número 1,5 , por exemplo. Então, neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio. E será representado por:
A = \emptyset
Logo não é correto dizer que A = ]1,2[. A não é um subconjunto dos números reais, então nem todos os números possíveis estão no intervalo quaisquer números naturais, ou inteiros ou racionais.
Mas, se A fosse um subconjunto dos reais, poderíamos dizer que:
A = \{x \in \mathbb{R} : 1 < x < 2\} = ]1, 2[
O que geometricamente representamos:
Notações
1. Dizemos que um intervalo é aberto quando seus extremos não estão incluídos. Exemplo:
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x a\}
]-\infty, a[ = \{x \in \mathbb{R} : x < a\}
Toda ocasião em que um extremo for uma infinidade de elementos, este sempre será um extremo aberto.
2. Um intervalo fechado é aquele em que seus extremos são incluídos:
[a, b]= \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}
Na reta, o elemento incluído será uma bolinha preta:
3. Dizemos que um intervalo é semiaberto ou semifechado quando um de seus extremos são incluídos, ou seja:
[a, b[= \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}
E também com extremos ao infinito:
[a, +\infty[= \{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}
]-\infty, a] = \{x \in \mathbb{R} : x \leq a\}
Podemos também assumir que, se um intervalo é um subconjunto dos números reais, é possível realizar algumas operações entre intervalos, tais como união e interseção de intervalos. Supondo que tenhamos dois intervalos: [a, b] e [c, d] e que d > c > b > a.
A união dos intervalos será dada por:
[a, b] \cup [c, d] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \text{ ou } c \leq x \leq d\}
E geometricamente representamos:
E a sua interseção é vazia, pois não existem elementos comuns em ambos os intervalos:
[a, b] \cap [c, d] = \emptyset
Vamos tomar um exemplo com valores. Supondo os intervalos [1,5] e [2,7]. A sua união será:
[1, 5] \cup [2, 7] = [1, 7] = \{x \in \mathbb{R} : 1 \leq x \leq 7\}
Se representarmos na reta, vemos que seus elementos estão ligados linearmente:
Então a sua união será a “soma” de todos os elementos de seus intervalos, resultando em um intervalo único de 1 a 7. Porém, a sua interseção será dada por:
[1, 5] \cap [2, 7] = [2, 5] = \{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 5\}
Geometricamente vemos que existe um intervalo entre eles que é composto pelos elementos que são comuns em ambos, no caso, o intervalo [2,5], veja:
Concluindo: Intervalos serão sempre subconjuntos dos números reais, o que nos garante a validade de todas as propriedades e operações da teoria dos conjuntos. A representação geométrica de um intervalo é muito importante pois podemos observar o comportamento dos intervalos, facilitando a sua classificação e as suas possíveis operações.
Referências Bibliográficas:
LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.