O estudo de limites de sequências é apenas uma extensão do conceito de limites. Para isso vamos recordar o conceito de sequências:
“Uma sequência numérica é uma função f, definida no conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos tal que: 𝑓: 𝑛 ↦ 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛. Onde o n é chamado de índice e an o n-ésimo elemento da sequência, ou termo geral.”
Onde os elementos de uma sequência estão na forma:
(a1, a2, a3, a4, ..., an)
Seguindo a definição, toda sequência possui uma lei de formação. Por exemplo, se quiséssemos construir uma sequência que sejam as aproximações por falta do número \sqrt{2} teríamos o seguinte:
𝑎1 = 1,4 𝑎2 = 1,41 𝑎3 = 1,414 𝑎4 = 1,4142 𝑎5 = 1,41421 𝑎6 = 1,414213
Como sabemos, \sqrt{2} é um número irracional e, portanto, não sabemos o seu valor tendendo ao infinito, o que torna a sequência de aproximações por falta de \sqrt{2} uma sequência infinita.
Outro exemplo de sequência é a dos números primos. É uma sequência que não existe uma fórmula, mas os seus termos podem ser obtidos pela definição de números primos:
(2, 3 , 5 , 7 , 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … )
Existe ainda aquelas em que é possível obter uma fórmula para o seu termo geral, por exemplo:
1) A sequência
an = 2n ⇒ (21, 22, 23, 24, 25, ..., 2n) ⇒ (2, 4, 8, 16, 32, ...., 2n)
2) A sequência
Sequências podem ser finitas ou infinitas. No estudo de limites de sequências vamos nos concentrar apenas nas infinitas. A partir da definição de limites infinitos podemos então classificar algumas sequências, vejamos:
Sequências convergentes:
Uma sequência é convergente para um limite 𝐿, ou tem limite em 𝐿 se, para qualquer 𝜀 > 0 é sempre possível encontrar um número 𝑁 tal que:
𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀
Escrevemos então:
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L
Uma sequência que não converge é chamada de divergente e uma sequência nula é toda aquela que converge para zero. Exemplos:
3) Observe a sequência:
a_n=\frac{n}{n+1}
Escrevendo os seus termos, começando com 𝑛 = 1 temos:
Perceba que, quanto maior for o valor de 𝑛, mais próximos estamos de 1, ou seja:
Podemos constatar então que essa sequência converge para 1. Mas,provando esse fato, sabendo que o limite 𝐿 = 1:
O que significa que, para qualquer 𝜀 > 0, existe um 𝑁 = (1/𝜀) − 1 onde satisfaça a condição:
𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑎𝑛 − 1| < 𝜀
Em outras palavras, podemos dizer que quanto menor for o valor de 𝜀, mais exigentes estaremos sendo quanto à proximidade entre 𝑎𝑛 e o limite 1, logo deveríamos fazer com que o índice 𝑛 fosse cada vez maior para suprir essa exigência. Como um exemplo mais algébrico, vamos calcular limites de sequências de uma maneira menos formal determinando o limite abaixo:
\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2n+3}{n+1}
Então:
\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2n+3}{n+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}
Usando o fato de que o limite:
\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{x}{n}=0
Para qualquer valor de 𝑥 ∈ ℝ, então temos que:
\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.