Limites infinitos, diferente dos limites tendendo ao infinito, são aqueles em que o limite é infinito. Para apresentarmos melhor este conceito, partiremos para assuas definições formais:
Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]𝑎, 𝑏[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, com 𝑎 + 𝛿 < 𝑏 tal que
𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀
O limite L, quando existe, é único e representamos por:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=+\infty
Ou:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty
Se:
𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀
E também:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty
Se:
𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝜀
1) Vamos calcular um limite fundamental usando a definição formal de limites tendendo a mais infinito:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}
Primeiramente, analise o gráfico desta função:
Note que quanto mais 𝑥 se aproxima de zero, maior é o valor de 𝑦, o que nos remete a:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty
Podemos ainda provar este fato usando a definição:
Dado 𝜀 > 0 e, sendo 𝛿 = 1/𝜀 dizemos que:
0