A definição de limite lateral é uma extensão da definição de limites. Recordemos:
Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto contido no domínio de 𝑓. Dizemos que 𝑓 tem limite 𝐿, no ponto 𝑎, se dado qualquer 𝜀 > 0, exista um 𝛿 > 0 tal que, para qualquer 𝑥 pertencente ao domínio de 𝑓, a condição abaixo seja satisfeita:
0 < |𝑥−𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥)−𝐿| < 𝜀
O limite L, quando existe, é único e representamos por:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L
Agora, seja uma função 𝑓 e 𝑎, um número real. Vamos supor que exista um número 𝑏 onde, o intervalo aberto ]𝑎,𝑏[ esteja contido no domínio de 𝑓:
Chamamos de limite lateral pela direita se, para qualquer 𝜀 > 0, exista um 𝛿 > 0, tal que:
𝑎 < 𝑥 < 𝑎+𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥)−𝐿| < 𝜀
O limite 𝐿 quando existe representamos por:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=L
Esta definição pode ser representada graficamente como, no exemplo abaixo:
Significa então que, se 𝑥 tende a 𝑎 pela direita, então 𝑓(𝑎) tende a 𝐿:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=L
Chamamos de limite lateral pela esquerda se, para qualquer 𝜀>0, exista um 𝛿>0, tal que:
𝑎−𝛿 < 𝑥 < 𝑎 ⇒ |𝑓(𝑥)−𝐿| < 𝜀
O limite 𝐿 quando existe representamos por:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L
Graficamente, a diferença é sutil, mas repare na seta que indica a aproximação de x pela esquerda:
Significa então que, se 𝑥 tende a 𝑎 pela direita, então 𝑓(𝑎) tende a 𝐿:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L
Exemplo 1) Vamos calcular os limites:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x) e \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)
Onde nossa função é descrita por:
f(x)=\begin{cases}3x^2&\text{ se }x1\end{cases}
Graficamente essa função tem a seguinte forma:
Calculando, inicialmente o limite pela direita, temos:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}2x=2
E agora, pela esquerda:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}3x^2=3
Note que neste caso, também é possível atribuir os limites da função apenas analisando o seu gráfico. Quando 𝑥 é igual a 1, perceba que quando os valores de 𝑥 vem pela direita, então o seu limite é 2, e pela esquerda, é igual a 3.
Referências Bibliográficas
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.