Limites no infinito (ou tendendo ao infinito) são aqueles em que a variável da função tende ao infinito. E representamos de duas formas:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L
Para quando 𝑥 tende a “mais” infinito, ou:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L
Quando 𝑥 tende a “menos” infinito.
Assim como a definição formal de limites, existe também uma definição formal para limites tendendo ao infinito, que não difere muito da de limites comuns. Abaixo, a definição para mais infinito:
Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]𝑎 ,+∞[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀>0 existe 𝛿>0, com 𝛿>𝑎 tal que
𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝐿−𝜀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿+𝜀
O limite L, quando existe, é único e representamos por:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L
Há também uma definição para os limites tendendo a menos infinito:
Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]−∞ ,𝑎[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀>0 existe 𝛿>0, com −𝛿<𝑎 tal que
𝑥 < −𝛿 ⇒ 𝐿−𝜀 < 𝑓(𝑥) < 𝐿+𝜀
O limite L, quando existe, é único e representamos por:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L
1) Vamos calcular um limite fundamental usando a definição formal de limites tendendo a mais infinito:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=L
Primeiramente, analise o gráfico desta função:
Observe que quanto maior for o valor de 𝑥, mais próximo 𝑓(𝑥) está de zero, o que intuitivamente poderíamos concluir que o limite desta função tendendo ao infinito é zero. Mas, podemos provar este fato usando a definição formal de limites:
Dado 𝜀>0 e, sendo \delta=\frac{1}{\epsilon} dizemos que:
x>\delta\Rightarrow 0