Antes de introduzirmos o conceito de módulo, vamos rapidamente revisar algumas definições importantes sobre os números reais:
O conjunto dos números racionais mais os irracionais formam o conjunto dos números reais.
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}
\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup I
Podemos também representar o conjunto dos reais numa reta graduada:
Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais:
- Se x\ge y, dizemos que x é maior ou igual a y;
- Se x>y, então x é maior do que y;
- Se x\neq y, dizemos que x é diferente de y.
Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:
- Reflexiva: x\ge y
- Antissimétrica: x\ge y e y\ge x\Rightarrow x=y
- Transitiva: x\ge y e y\ge z\Rightarrow x\ge z
- Compatibilidade com a Adição: x\ge y\Rightarrow x+z\ge y+z
- Compatibilidade com a Multiplicação: x\ge y e z\ge 0\Rightarrow xz\ge yz
Exemplo 1) Tomemos agora 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑤, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados 𝑥 ≤ 𝑦 e 𝑧 ≤ 𝑤.
Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que:
𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧
𝑧 ≤ 𝑤 ⇒ 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑤
Agora, pela propriedade transitiva temos:
\left.\begin{aligned}x+z\leq y+z\\y+z\leq y+w\end{aligned}\right\} \Rightarrow x+z\leq y+w
Concluindo:
\left.\begin{aligned}x\leq y\\z\leq w\end{aligned}\right\} \Rightarrow x+z\leq y+w
Tendo em vista a importância de relembrar essas definições, tanto dos números reais quanto das desigualdades, a definição de módulo se torna então mais clara.
O módulo de um número real 𝑟 é, que é representado por |𝑟| onde:
|𝑟| = 𝑟 se 𝑟 ≥ 0
|𝑟| = −𝑟 se 𝑟 < 0
Podemos também dizer que o módulo de um número real é a “distancia”desse número até o zero da reta real. Por exemplo, a distância do número 4 até o zero seria o seu próprio valor:
|4| = 4
Já a distância do -13 até o zero seria de apenas 13.
|−13| = 13
E também temos algumas propriedades envolvendo os módulos de números reais que valem a pena ser apresentadas. Algumas delas são:
|𝑥| ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
|𝑥| = 0 ⇒ 𝑥 = 0
|𝑥| ≥ 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ
|𝑥| ≥ |−𝑥| ∀𝑥 ∈ ℝ
|𝑥²| = |𝑥|2 = 𝑥²
|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|
|𝑥 − 𝑦| ≥ |𝑥| − |𝑦|
|𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|
\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}
||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦|
Estas propriedades e definições se tornam mais usuais quando lidamos com funções e/ou equações modulares.
Referências Bibliográficas
DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.