Em matemática, a geometria analítica estuda equações e suas representações por meio de um sistema de coordenadas cartesianas. Concentrando-se no estudo das retas, algumas propriedades e condições são elementares para interpretar o seu comportamento.
Equações lineares
Seguem abaixo algumas opções da representação de uma equação linear:
1) Uma equação linear pode ser representada no plano por uma linha, ou uma reta, no plano cartesiano em duas dimensões, onde na forma reduzida é descrita por:
y = mx+b
Onde:
- m é o coeficiente angular da reta
- b é o ponto de intersecção com o eixo y (coeficiente linear)
- x é a variável aleatória
2) Relembrando brevemente o conceito de funções do primeiro grau, uma equação de reta pode ser escrita como uma função f, do tipo:
f(x) = mx+b
3) Temos também o que chamamos de forma geral da equação da reta, onde:
ax+by+c = 0
Onde:
- -\frac{a}{b} é o coeficiente angular da reta;
- -\frac{c}{b} é o ponto de intersecção com o eixo y (coeficiente linear);
- x é a variável aleatória;
4) Podemos obter o coeficiente angular de uma reta dados dois pontos, ou duas coordenadas no plano A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Sendo dois pontos distintos temos:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Onde uma outra forma de equação geral da reta pode ser obtida, dados dois pontos:
y_2 - y_1 = m(x_2 - x_1)
5) Supondo que já possuímos dois pontos distintos e queremos saber qual é a reta que passa por estes dois pontos. Podemos representar a equação geral da reta a partir do determinante da matriz, que será dada por:
\begin{bmatrix}x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x & y & 1\end{bmatrix} = 0
Representação gráfica
Podemos descrever uma equação de reta graficamente da seguinte maneira:
No ponto em que y=0, encontramos a intersecção da reta com o eixo x. O ponto b é a intersecção da reta com o eixo y e a tangente do ângulo α formado entre a reta e o eixo x é o nosso coeficiente angular m. Ou seja:
tg \alpha = m
Exemplos de retas
Reta: y = x Coeficiente angular: m = 1 Coeficiente linear: b = 0
Reta: y = -x Coeficiente angular: m = -1 Coeficiente linear: b = 0
Equação reduzida: y = -x+1 Coeficiente angular: m = -1 Coeficiente linear: b = 1
Equação reduzida: y = x+1 Coeficiente angular: m = 1 Coeficiente linear: b = 1
Equação reduzida: y = -2x+2 Equação geral: 2x+y-2=0 Coeficiente angular: m=-2 Coeficiente linear: b = 2
Equação reduzida: y = 3x-1 Equação geral: -3x+y+1=0 Coeficiente angular: m=3 Coeficiente linear: b=-1
Posição relativa entre retas
Dadas duas retas, ou equações de retas, as suas classificações em relação a posição entre elas irão assumir algumas classificações, estas são:
Paralelas
Duas retas são consideradas paralelas quando o coeficiente angular de uma é igual ao da outra e traçando uma reta perpendicular que passe pelas duas retas, o ângulo formado é de 90º. Em outras palavras, duas retas que são paralelas nunca se interceptam no plano. Em notação, escrevemos que // (r é paralela a s).
Exemplo 1) Dadas duas retas r e s distintas, tal que \begin{cases}r: y = 2x+3\\s: y = 2x-1\end{cases} , elas são paralelas pois:
m_r = m_s
Veja graficamente:
Pela definição, podemos também dizer que se duas retas são paralelas, então o ângulo formado entre a reta e eixo x de r (ar) será igual ao da reta s (as). Então:
a_r = a_s \leftrightarrow tg a_r = tg a_s
Concorrentes
Dizemos que duas retas são concorrentes quando dadas duas retas distintas, os seus coeficientes angulares são diferentes:
Exemplo 2): Sejam as retas \begin{cases}r:&x+y-4=0\\s:&-5x+2y+4=0\end{cases} , vemos que:
m_r \neq m_s
Graficamente, temos:
Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo formado entre elas é de 90º o que em notação significa que r \perp s . Ou seja:
m_r \cdot m_s = -1
Exemplo 3) Sejam as retas \begin{cases}r:&x-y=1\\s:&x+y-3=0\end{cases} temos que r \perp s :
Se duas retas são perpendiculares, então vale dizer que:
\text{tg }\alpha_r \cdot \text{tg }\alpha_s = -1 \leftrightarrow \text{tg }\alpha_r = -\text{cotg }\alpha_s
Referências Bibliográficas:
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.