Quando falamos em potência, devemos lembrar que um número a que está elevado a uma potência n, significa que o número a deverá ser multiplicado n vezes, ou seja:
a^n=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a \text{ (n vezes)}
Sendo assim, quando queremos elevar uma fração a uma determinada potência devemos fazer o seguinte:
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot ... \cdot a}{b \cdot b\cdot b\cdot ... \cdot b}
Existem ainda alguns exemplos importantes que envolvem potências e frações que valem a pena ser revistos:
| \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\text{, com }m\neq n |
| a^{-1}=\frac{1}{a^n} |
| \left(\frac{a}{b}\right)^{-b}=\frac{b^n}{a^n} |
| \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}} |
Exemplo 1)
\left(\frac{3}{2}\right)^4=\frac{3^4}{2^4}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2}=\frac{81}{16}
Exemplo 2)
\frac{7^8}{7^5}=\frac{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}=7^{8-5}=7^3=7\cdot 7\cdot 7=343
Exemplo 3)
\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}=\frac{2^4}{3^4}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{16}{81}
Exemplo 4)
\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}
Exemplo 5)
2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{32}
Referência:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011.