Assim como em uma progressão aritmética, a Progressão Geométrica (P.G) também é representada por uma sequência, porém seus elementos são dados pelo produto do termo anterior por uma constante que chamaremos de razão q. Em outras palavras, dada a sequência:
(a1, a2, a3, a4, ..., an)
Temos que:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a2 . q) . q = [(a1 . q) . q ] . q = a1 . q3
...
Naturalmente, se quisermos obter a razão de uma P.G., devemos dividir um termo an pelo seu anterior, assim:
q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=...\frac{a_n}{a_{n-1}}
Ao continuarmos a operação para determinar um termo qualquer em uma P.G., obtemos então a fórmula do termo geral:
a_n=a_1\cdot q^{n-1}
E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.G. Sejam m e n posições consecutivas quaisquer dos elementos, temos:
a_n=a_m\cdot q^{m-n}
Interpretação geométrica da P.G.
Podemos representar o termo geral de uma P.G. como uma função do tipo f(x), onde podemos reescrever a fórmula em função de x e também desenhar o gráfico da função. Dizemos então que:
f(x)=a_q\cdot q^x
Supondo conhecidos os valores de a1 e de q, a sua razão, a fórmula do termo geral assumirá então a forma de uma função exponencial. Vejamos um exemplo em que an = ½ e que q = 2, escrevemos:
f(x)=\frac{1}{2}\cdot(2)^x
Sabemos, por definição que esta P.G. será dada por:
(\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, ...)
Neste exemplo, o nosso primeiro termo será dado por f(0)=\frac{1}{2} o que claramente já foi dado, confirmando então que o zero da função é o termo a1. Abaixo segue o gráfico da função onde estão indicados os quatro primeiros termos da P.G.:
Vemos que os valores de f(1), f(2), ..., f(x) com x sendo um número inteiro serão os termos da P.G.
Tipos de progressão geométrica
Crescente
Quando a razão q >1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Exemplos:
(1, 4, 16, 64, ...), onde q = 4
(-150, -30, -6, ...), onde q = ½
Decrescente
Quando 0 < q < 1 e os termos são positivos, ou quando q > 1 e os termos negativos. Por exemplo:
(200, 100, 50, ...), onde q = ½
(-1, -3, -9, ...), onde q = 3
Oscilante
Quando q < 0, ou seja:
(3, -6, 12, -24, ...), onde q = -2
Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita
Seja uma P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an) e Sn soma dos seus termos, podemos então escrever:
S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_{n-1}+a_n
Multiplicando ambos os lados da equação por q temos:
q\cdot S_n=q\cdot(a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_{n-1}+a_n)
q\cdot S_n=q\cdot a_1+q\cdot a_2+q\cdot a_3+q\cdot a_4+...+q\cdot a_{n-1}+q\cdot a_n)
E que pela definição:
q\cdot S_n=a_2+a_3+a_4+...+a_n+q\cdot a_n
Podemos então dizer que:
S_n-q\cdot S_n=(a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n)-(a_2+a_3+...+a_n+q\cdot a_n)
O que nos resulta em:
S_n-q\cdot S_n=a_1-q\cdot a_n
E pela equação do termo geral, a_n=a_1\cdot q^{n-1} podemos:
S_n-q\cdot S_n=a_1-q\cdot(a_1\cdot q^{n-1})
Isolando as variáveis:
S_n(1-q)=a_1(1-q^n)
Por fim, obtemos então a fórmula da soma da P.G. finita:
S_n=a_1\cdot\frac{(1-q^n)}{(1-q)}
OBS: Se a razão for igual a um (q=1), em outras palavras, se a P.G. for constante (onde todos os seus termos são iguais) então não será possível obter a soma dos seus termos.
Referências Bibliográficas:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 4: São Paulo: Editora Atual, 2013.