As regras de derivação são formas de generalizar a derivada de algumas funções. Elas são muito úteis quando, ao resolver um exercício, por exemplo, podemos identificar a forma que a sua expressão assume. Por exemplo: uma função pode ser resultado da soma de duas outras, ou o produto, a razão. Vamos mostrar mais adiante essas estruturas, mas antes, vamos relembrar a definição de derivação:
Definição: Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto do seu domínio. O limite:
\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}
quando existe e é finito, o chamamos de derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝). Ou seja:
\displaystyle f'(p)=\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}
Se 𝑓 admite derivada em 𝑝, então dizemos que 𝑓 é diferenciável ou derivável em𝑝.
Exemplo 1 - Soma de duas funções:
Como dito anteriormente, a expressão de uma função pode ter algumas formas que podemos identificar com facilidade. Por exemplo, a função abaixo,
f(x)=5x^2+3x
pode ser obtida pela soma de duas funções, ambas de 𝑥, ou seja:
u(x)=5x^2
v(x)=3x
O que nos traz:
f(x)=u(x)+v(x)=5x^2+3x
Por uma questão de praticidade, podemos chamar a função 𝑢(𝑥) apenas de 𝑢 e a função 𝑣(𝑥) apenas de 𝑣. Agora podemos nos perguntar: Como derivar uma função em que sua expressão é sempre a soma de duas ou mais funções? Vamos generalizar:
Sejam 𝑢 e 𝑣 diferenciáveis em 𝑝, então 𝑢 + 𝑣 também é diferenciável em 𝑝. Logo, por definição podemos escrever:
f(x)=(u+v)(x)\Rightarrow f'(x)=(u+v)'(x)
E, calculando esta derivada desta função num ponto 𝑝, a partir da definição de derivação, temos:
f'(p)=(u+v)'(p)=
\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)+v(x)]-[u(p)+v(p)]}{x-p}
\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)-u(p)]}{x-p}+\frac{[v(x)-v(p)]}{x-p}
\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)-u(p)]}{x-p}+\lim_{x\rightarrow p}\frac{[v(x)-v(p)]}{x-p}
Como podemos ver:
(u+v)'(p)=u'(p)+v'(p)
A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas.
Exemplo 2 - Um número real multiplicado por uma função:
Agora, vamos considerar uma função que esteja sendo multiplicada por um número real 𝛼. Por exemplo:
f(x)=7x^3
Podemos representar essa expressão da seguinte maneira:
u(x)=x^3
\alpha=7
Logo:
f(x)=\alpha\cdot u(x)=(\alpha\cdot u)(x)
Utilizando a definição para calcular a derivada num ponto 𝑝 de funções desse tipo, temos:
\displaystyle f'(p)=(\alpha\cdot u)'(p)=\lim_{x\rightarrow p}\frac{[\alpha\cdot u(x)+\alpha\cdot u(p)]}{x-p}
\displaystyle=\lim_{x\rightarrow p}\alpha\cdot\frac{[u(x)+u(p)]}{x-p}
\displaystyle=\alpha\cdot\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)+u(p)]}{x-p}
=\alpha\cdot u'(p)
Existem diversas outras regras de derivação, sendo que todas elas podem ser obtidas a partir da definição formal da derivada de uma função. Abaixo uma lista com as regras mais utilizadas:
Produto de duas funções:
(u\cdot v)'=u'v+uv'
Divisão de duas funções:
\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}
Algumas derivadas elementares:
f(x)=x^n\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}
f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=e^x
f(x)=\ln x\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}
f(x)=sen x\Rightarrow f'(x)=cos x
f(x)=cos x\Rightarrow f'(x)=-sen x
f(x)=tg x\Rightarrow f'(x)=sec^2x
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.