Para começarmos a exemplificar as soluções de sistemas lineares, vamos apresentar de uma forma genérica o conceito de sistema linear e, posteriormente alguns casos genéricos de como resolvê-los. Recomenda-se também a leitura do artigo sobre Sistemas de Equações.
É chamado de sistema de equações lineares (ou apenas sistemas lineares) um conjunto de duas ou mais equações lineares. A forma geral de um sistema linear é dada por:
Onde os termos acima:
- x1, x2, x3, .... xn são as incógnitas do sistema;
- a11, a12, ... amn são as variáveis dependentes, ou coeficientes do sistema;
- b1, b2, ..., bm são os termos independentes, as constantes.
Note que também é possível escrever um sistema na forma de um produto de matrizes. Sendo assim, dizemos que um sistema de equações lineares pode ser expresso por:
Dadas as matrizes A, X e B tais que:
O produto A.X = B será:
Sendo assim, vamos agora apresentar os métodos mais utilizados para encontrarmos os valores das incógnitas dos sistemas lineares.
Método da Adição
É um método de solução de sistemas lineares mais empregado quando temos duas equações e duas incógnitas. Ele basicamente consiste em somar as equações a fim de cancelarmos uma variável no sistema. A melhor forma de mostrarmos esse método é com um exemplo:
\begin{cases}2x+y=4\\3x-y=11\end{cases}
Note que se fizermos soma dos termos da primeira com a segunda equação, obtemos:
2x+3x+y-y=4+11
O que resulta em:
2x+3x=4+11
5x=15\Rightarrow x=3
Encontramos o valor para a variável 𝑥, agora, substituindo o valor de 𝑥 na segunda equação obtemos:
3x-y=11
3(3)-y=11
9-y=11
y=-11+9\Rightarrow y=-2
Dizemos então que o conjunto solução desta equação é:
S: (x, y) = (3, -2)
Método da Eliminação de Gauss ou Escalonamento
Este método é a melhor opção quando lidamos com sistemas lineares com mais de 2 equações, mas neste artigo trataremos apenas para o caso de 3 equações com 3 incógnitas. Ele consiste basicamente em tentar eliminar a primeira incógnita de todas as equações, exceto as duas primeiras, e assim sucessivamente, adicionando ou subtraindo em cada passo e a cada equação com uma incógnita a eliminar um múltiplo de outra operação. Vamos exemplificar resolvendo o sistema abaixo:
\begin{cases}x-y+z=1\\2x+y-z=0\\3x-2y-z=2\end{cases}
1º) Multiplique por 2 a primeira equação e subtraia esse resultado da segunda equação obtemos:
\begin{cases}x-y+z=1\\3y-3z=-2\\3x-2y-z=2\end{cases}
2º) Agora, multiplicando por 3 a primeira equação e subtraindo da terceira equação, temos:
\begin{cases}x-y+z=1\\3y-3z=-2\\y-4z=-1\end{cases}
3º) Por fim, se dividirmos por 3 a segunda equação e subtrairmos deste resultado a terceira equação, encontraremos um sistema escalonado:
\begin{cases}x-y+z=1\\3y-3z=-2\\-3z=-\frac{1}{3}\end{cases}
Como encontramos agora uma igualdade direta para o valor da variável 𝑧 basta fazer as substituições nas equações para encontrar os valores de 𝑥 e 𝑦, o que resulta em:
S:(x, y, z)=\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{9},\frac{1}{9}\right)
Podemos generalizar a forma de um sistema escalonado como:
Regra de Cramer
A regra de Cramer é uma técnica de solução de sistemas lineares onde basicamente trabalhamos com determinantes de matrizes. Vamos generalizar:
Seja o sistema linear de 3 incógnitas e 3 equações:
Podemos dizer que:
Onde A é a matriz dos coeficientes, X é a das incógnitas e B é a dos termos independentes.
O método de Cramer, inicialmente exige que façamos o determinante da matriz dos coeficientes, chamaremos esse determinante de D:
Calculado este determinante temos que se 𝐷 ≠ 0 então o sistema linear tem solução, ou seja, é possível e determinado, mas, se 𝐷 = 0 não podemos prosseguir com a regra de Cramer. Continuando, devemos agora calcular os determinantes para encontrarmos um valor para as variáveis do sistema, que são obtidos substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada pela coluna da matriz dos termos independentes, ou seja:
Por fim, para de fato determinarmos o valor de cada incógnita, devemos fazer a razão entre os determinantes obtidos pela substituição na matriz dos coeficientes pelo determinante da matriz dos coeficientes, ou seja:
Vamos exemplifica este método no sistema abaixo:
Escrevendo na forma de um produto de matrizes, temos:
Calculando o determinante 𝐷:
E agora, os determinantes obtidos pela substituição:
E, por fim, substituindo nas razões que nos determinam as variáveis do sistema, obtemos:
Logo, a solução do sistema é:
Referências Bibliográficas:
COELHO, Flávio U; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013
LIPSON, Marc; SEYMOUR, Lipschutz. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011
BARREIRA, Luís; VALLS, Claudia. Álgebra Linear: Exercícios. São Paulo: Livraria da Física, 2012.