Quando estudamos sequências numéricas podemos dizer que algumas delas encontram-se na forma de uma progressão aritmética ou geométrica (P.A. e P.G.). Porém existem outros tipos de sequências ou progressões em matemática. Pela definição formal de sequência temos:
“Uma sequência numérica é uma função f, definida no conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos tal que: f: n \rightarrow f(n) = a_n. Onde o n é chamado de índice e an o n-ésimo elemento da sequência, ou termo geral.”
Onde os elementos de uma sequência estão na forma:
(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, ..., a_n)
Podemos construir diversos tipos de sequências infinitas que não estão na forma de uma P.A. ou P.G. e por consequência, nem toda sequência terá uma fórmula para determinar o seu termo geral. Mas, seguindo a definição, toda sequência possui uma lei de formação. Por exemplo, se quiséssemos construir uma sequência que sejam as aproximações por falta do número \sqrt{2} teríamos o seguinte:
- a1 = 1,4
- a2 = 1,41
- a3 = 1,414
- a4 = 1,4142
- a5 = 1,41421
- a6 = 1,414213
Como sabemos, \sqrt{2} é um número irracional e, portanto, não sabemos o seu valor tendendo ao infinito, o que torna a sequência de aproximações por falta de \sqrt{2} uma sequência infinita.
Outro exemplo de sequência é a dos números primos. É uma sequencia que não existe uma formula, mas os seus termos podem ser obtidos pela definição de números primos:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...)
Uma sequência que é muito importante devido as suas propriedades e relações com a natureza é a sequência descoberta pelo matemático Leonardo Pisa, que ficou conhecido como Fibonacci. Para obtermos esta sequência é necessário considerar que o seu primeiro termo é igual a 1, e seguindo temos:
- a1 = 1
- a2 = a1 + anterior = 1*
* Neste caso, não possui antecessor, então ele também ocupará a segunda posição. Continuando:
- a3 = a2+a1 = 1+1 = 2
- a4 = a3+a2 = 2+1 = 3
- a5 = a4+a3 = 3+2 = 5
Se continuarmos esta operação infinitamente, obteremos a seguinte sequência:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)
E que por recorrência, o termo geral será dado pela seguinte lei de formação:
an = an-1 + an-2
Para homenageá-lo escrevemos, ao invés de an:
Fn = Fn-1 + Fn-2
Espiral de Fibonacci
A espiral de Fibonacci aparece quando construímos uma série de quadrados cujos lados são os números da sequência de Fibonacci. Com isso temos que cada quadrado abaixo possui um número indicando quanto vale a medida do seu lado que coincide com a sequência de Fibonacci. Construindo então, a espiral:
Este retângulo também é chamado de retângulo de ouro, e suas propriedades estão presentes em diversas formas da natureza. Encontramos a espiral nas conchas de caramujos, em algumas galáxias como a Messier 74, por exemplo:
Galáxia Messier 74. Foto: NASA/ESA.
Concha. Foto: verchik / Shutterstock.com
Muitos trabalhos em álgebra nasceram devido à curiosidade dos matemáticos em determinar estas proporções que possuem relação com a sequência de Fibonacci. Algumas destas descobertas, tais como a proporção áurea (ou o número de ouro), marcaram a história da arte e também das ciências exatas e da terra.
Um exemplo de aplicação atual dos números de Fibonacci está na análise do mercado de ações. Alguns matemáticos defendem que as flutuações do mercado financeiro obedecem um padrão de crescimento e decrescimento que acompanham a sequência de Fibonacci. Nem todas as suas propriedades e aplicações foram descobertas. O que pode garantir um ótimo tema para pesquisas futuras para aqueles que desejam enveredar-se na carreira como cientista.
Referências Bibliográficas
ÁVILA, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Blucher, 1999.