Antes de apresentarmos o conteúdo de sistemas de inequações é imprescindível que o leitor conheça os conceitos de intervalos reais, inequações do 1º grau e sistemas de equações.
Um sistema de inequações obedece às mesmas propriedades de um sistema de equações, sendo que o mesmo é formado por duas ou mais equações de uma variável e as expressões são desigualdades. A solução de um sistema de inequações também será dada por um intervalo real, ou seja, um conjunto solução. Vamos relembrar alguns conceitos de inequações do primeiro grau:
- Se x \geq y, dizemos que x é maior ou igual a y;
- Se x > y, então x é maior do que y;
- Se x \neq y, dizemos que x é diferente de y.
Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:
- Reflexiva: x \geq y
- Antissimétrica: x \geq y e y \geq x \Rightarrow x = y
- Transitiva: x \geq y e y \geq z \Rightarrow x \geq z
- Compatibilidade com a Adição: x \geq y \Rightarrow x+z \geq y+z
- Compatibilidade com a Multiplicação: x \geq y e z \geq 0 \Rightarrow xz \geq yz
Resolvendo um sistema de inequações
Exemplo 1) Vamos encontrar o conjunto solução do sistema dado por:
\begin{cases}x+40\end{cases}
Obtendo o valor de x nas expressões separadamente temos:
x+40 x>8
Observe que o nosso conjunto solução, neste caso já está bem definido, pois o nosso intervalo será:
S = \{x \in \mathbb{R}:x8\}
S = ]-\infty, -4[ \cup ]8, +\infty[
Exemplo 2) Agora vamos solucionar o sistema abaixo:
\begin{cases}3x+2>0\\5x-3\leq 0\end{cases}
Solucionando separadamente temos:
3x+2>0
x>\frac{-2}{3}
5x-3\leq 0
x\leq\frac{3}{5}
Neste caso perceba que o conjunto solução desta equação será o intervalo:
S = \left\{x \in \mathbb{R}:-\frac{2}{3}