O teorema de Laplace nos traz uma forma generalizada para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada. Para isso, recordemos o conceito de determinante de uma matriz.
Em resumo, o determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada a um escalar. Ou seja, o determinante transforma a matriz em um número.
Segue abaixo a definição formal do teorema de Laplace:
Seja Mn(K) o conjunto das matrizes quadradas (quando o número de linhas n for igual ao número de colunas) definida sobre um conjunto K, e uma matriz A onde A\in M_n (K), o determinante da matriz A, fixando a sua linha i ou a sua coluna j será dado por:
det A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot(det A_{ij})
Em outras palavras: O determinante da matriz A\in M_n (K) é igual à soma algébrica do produto dos elementos de uma linha i ou de uma coluna j pelos seus respectivos cofatores A_{ij}=(-1)^{i+j}(det A_{ij}).
Exemplo 1: Vamos calcular o determinante de uma matriz A\in M_3 (\mathbb{R}), dada por:
A=\left[\begin{array}{lcr}1&3&-1\\0&2&-4\\1&0&5\end{array}\right]
1º passo) Escolha uma linha ou uma coluna para fixar, por exemplo, a primeira linha;
2º passo) Identifique quais são os elementos da linha escolhida, que são:
- a11 = 1
- a12 = 2
- a13 = -1
3º passo) Imagine que se selecionarmos cada elemento da nossa linha e excluir a linha e a coluna que ele pertence. Vemos que sobrará uma matriz menor, de ordem 2, veja abaixo:
Esta matriz resultante da eliminação da linha e da coluna correspondente ao termo é a nossa matriz:
A_{11}=\left[\begin{array}{lr}2&-4\\0&5\end{array}\right]
4º passo) Repetindo o 3º passo para os outros elementos da linha veremos que as matrizes resultantes das eliminações serão, em função dos termos a12 e a13:
A_{12}=\left[\begin{array}{lr}0&-4\\1&5\end{array}\right]
A_{13}=\left[\begin{array}{lr}0&2\\1&0\end{array}\right]
Calculando os determinantes das matrizes resultantes acima pelo método de Sarrus, temos que:
det A_{11}=\left[\begin{array}{lr}2&-4\\0&5\end{array}\right]=(2\cdot 5)-(-4\cdot 0)=10
det A_{12}=\left[\begin{array}{lr}0&-4\\1&5\end{array}\right]=(0\cdot 5)-(-4\cdot 1)=4
det A_{13}=\left[\begin{array}{lr}0&2\\1&0\end{array}\right]=(2\cdot 1)-(0\cdot 0)=2
5º passo) Agora, calculando o somatório com a nossa 1ª linha, i = 1, fixada:
det A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot(det A_{ij})
det A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{1+j}\cdot a_{1j}\cdot(det A_{1j})
det A=(-1)^{1+j}\cdot a_{11}\cdot(det A_{11})+(-1)^{1+2}\cdot a_{12}\cdot(det A_{12})+(-1)^{1+3}\cdot a_{13}\cdot(det A_{13})
Como já temos todos estes valores, agora só nos resta calcular o valor do determinante:
det A=(-1)^2 \cdot 1 \cdot 10 +(-1)^3 \cdot 2 \cdot 4+(-1)^4 \cdot (-1)\cdot 2
det A = 10 - 8 - 2 = 0
Provando o método de Sarrus
Com base neste teorema, podemos provar o método de Sarrus para calcular o determinante de uma matriz de ordem n em um conjunto K da seguinte forma:
Matrizes de Ordem 2: Seja A=\left[\begin{array}{lr}a&b\\c&d\end{array}\right]\in M_2 (K). Por definição podemos dizer que o determinante de será:
det A=a\cdot det A_{11}- b\cdot det A_{12}
Como A11 = d e A12 = c, provamos o método de Sarrus, segue então que:
det A=a\cdot d-c\cdot b
Matrizes de Ordem 3: Seja A=\left[\begin{array}{lcr}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]\in M_3 (K), o seu determinante será dado por:
det A=a_{11}\cdot\left[\begin{array}{lr}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right]-a_{12}\cdot\left[\begin{array}{lr}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right]+a_{13}\cdot\left[\begin{array}{lr}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}\right]
Que resultará em:
det A=a_{11}\cdot(a_{22}a_{23}-a_{23}a_{32})-a_{12}\cdot(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}\cdot(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
Se realizarmos as operações acima, temos:
det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}
O que também prova que o método de Sarrus para calcular o determinante é uma recorrência do Teorema de Laplace.
Referências Bibliográficas:
COELHO, Flávio U; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013
LIPSON, Marc; SEYMOUR, Lipschutz. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011