Tales de Mileto foi um matemático e filósofo Grego do período pré-socrático que viveu em meados de 650 A.C. Tales, quando tentava determinar a altura de uma pirâmide, formulou um teorema que afirma:
“Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual a razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.”
Para demonstrar o teorema de Tales devemos recorrer a definição do teorema fundamental da proporcionalidade, onde um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Assim, dados o feixe de paralelas r, s e t e as transversais a e b, temos:
\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} =\frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} =\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}
Num triangulo qualquer, se uma reta paralela a um dos lados deste triângulo corta os outros dois lados em pontos distintos, então ela os divide na mesma razão. Em outras palavras, seja um triângulo ABC, uma reta r paralela ao lado BC a qual intersecciona os lados AB e AC, respectivamente, nos pontos D e E, então:
\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} =\frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}
Exemplo 1: Sejam as retas r, s e t tais que r // s // t. Vamos determinar a medida dos segmentos \overline{AB} e \overline{BC} da figura abaixo:
As medidas de cada segmento são:
\overline{AB} = 2x+1
\overline{BC} = 5x-1
\overline{DE} = 4
\overline{EF} = 6
\overline{AC} = 2x+1+5x-1 = 7x
\overline{DF} = 4+6 = 10
Pelo teorema de Tales, podemos então afirmar:
\frac{2x+1}{4} = \frac{5x-1}{6} = \frac{7x}{10}
Para resolver esta equação podemos escolher dois entre os três termos acima na igualdade, por exemplo:
\frac{2x+1}{4} = \frac{5x-1}{6}
6(2x+1) = 4(5x-1)
12x+6 = 20x-4
6+4 = 20x -12x
10 = 8x
x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}
Então, as medidas valem \overline{AB} = \frac{7}{2} e \overline{BC} = \frac{21}{4}.
Exemplo 2: Agora, considere três terrenos que estão entre duas ruas, A e B. Sabendo que as medidas de cada terreno de frente a rua A são 40 m, 30 m e 20 m, vamos determinar a medida de cada terreno para a rua B sabendo que a frente para essa rua tem 180 m. Vamos ilustrar segundo o nosso problema um esboço dos terrenos:
Pelo enunciado podemos dizer que x+y+z = 180, então pelo teorema de Tales, a relação dos seus lados será dada por:
\frac{x}{40} = \frac{y}{30} = \frac{z}{20} = \frac{x+y+z}{40+30+20} = \frac{180}{90} = 2
Assim como no exemplo anterior, precisamos determinar o valor de cada medida x, y e z da figura. No caso, todas as razões são iguais a 2. O que nos traz:
\frac{x}{40} = 2 \rightarrow x = 80
\frac{y}{30} = 2 \rightarrow y = 60
\frac{z}{20} = 2 \rightarrow z = 40
Exemplo 3: Agora, um exemplo com um triângulo onde os segmentos \overline{DE} e \overline{BC} são paralelos. Vamos determinar o valor das medidas \overline{AD} e \overline{AE}.
Pela definição do teorema podemos:
\frac{x-1+2}{2} = \frac{x+3+3}{3} \rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{x+6}{3}
Desenvolvendo a expressão, temos:
\frac{x+1}{2} = \frac{x+6}{3}
3(x+1) = 2(x+6)
3x+3 = 2x+12
3x-2x = 12-3
x = 9
Então, as medidas são \overline{AD} = 8 e \overline{AE} = 12.
Teorema de Tales no círculo
Existe ainda um caso especial do teorema de Tales a partir da definição do teorema do ângulo inscrito. Seja um triangulo qualquer ABC inscrito em uma circunferência, se a medida \overline{BC} for o diâmetro desta circunferência, então os pontos A, B e C formam um triângulo retângulo. Veja a figura abaixo:
Pela figura temos as relações:
\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \text{raio}
\overline{BC} = \overline{OB} + \overline{OC}
Logo, podemos dizer que os triângulos \Delta OAC e \Delta OAB são isósceles e que:
\alpha + \alpha + \beta + \beta = 180^{o}
2\alpha + 2\beta = 180^{o}
\alpha + \beta = 90^o
Concluindo então que o triângulo ABC é retângulo.
Referências Bibliográficas:
REZENDE, Eliane Q. F.; QUEIROZ, Maria L. B. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas: Editora UNICAMP, 2000.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011.