Chamamos de conjunto toda e qualquer coleção de elementos. Estes elementos podem ser números, objetos, figuras, pessoas, animais e tudo o que podemos ordenar, catalogar ou reunir em grupos de seus elementos. Por exemplo: Se quisermos construir o conjunto de crianças de uma escola que possuam exatos 10 anos de idade, podemos dizer que o conjunto é composto pelos alunos Pedrinho, Joãozinho, Mariazinha, ..., e todos os alunos que tenham 10 anos de idade na escola. Matematicamente, quase sempre os conjuntos serão compostos por números e que dependam de algumas condições. Por exemplo: O conjunto dos números Reais, o conjunto dos números Inteiros, o conjunto dos números maiores do que 2 e menores do que 7, e muito mais.
A relação básica entre um conjunto e o elemento que o compõe é chamada de relação de pertinência, ou seja, definimos um conjunto quando existe uma regra que permite decidir se um elemento pertence ou não a ele. Se um elemento x pertence a um conjunto (ou coleção) A, dizemos que x pertence a A. Formalmente escrevemos:
x\in A
E quando x não é um elemento deste conjunto, dizemos que x não pertence a A:
x\not\in A
A maioria dos conjuntos em matemática não possuem uma definição para todos os seus elementos, logo a forma mais fácil de definir um conjunto é utilizando uma propriedade comum para todos os seus elementos, ou seja, uma lei que consiga ser associada a todos os elementos que o compõe. Vejamos abaixo alguns conjuntos numéricos usuais:
- Números Naturais: \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}
- Números Inteiros: \mathbb{Z}=\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}
- Números Racionais: \mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}:p\in\mathbb{Z}; q\in\mathbb{Z}^{*}\}
Exemplo 1: Vamos definir um conjunto A que seja construído a partir dos números Naturais e que qualquer elemento de A seja maior ou igual a 5 e menor ou igual a 10. Então o conjunto será:
A=\{5,6,7,8,9,10\}
Como sabemos que qualquer elemento x que pertence a A é um número Natural neste exemplo, podemos representar o conjunto da seguinte maneira:
A=\{x\in\mathbb{N}:5\leq x\leq 10\}
Lê-se: O conjunto A é igual a x (elemento qualquer de A) que pertence aos naturais, tal que 5 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a 10 (ou x está entre 5 e 10).
Conjunto vazio
Existem alguns conjuntos que são representados por uma propriedade onde não é possível gerar elementos. Vejamos um caso:
A=\{x\in\mathbb{N}:1