Para melhor entendimento a respeito das propriedades do Triângulo de Pascal, vamos apresentar o conceito de combinação e coeficientes binomiais.
Imagine o seguinte cenário: Estamos organizando um campeonato de xadrez com 12 participantes. De quantas maneiras possíveis podemos criar as duplas para disputar a primeira partida? Este problema pode ser solucionado calculando a combinação de 12 jogadores organizados de 2 em 2. Que nos traz:
C_{12,2}=\frac{12!}{2!\cdot (12-2)!}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10!}{2!\cdot 10!}=\frac{12\cdot 11}{2}=66
Temos então 66 formas diferentes de organizar as duplas a partir dos 12 primeiros participantes. Há uma outra notação para a operação de combinação, ou coeficiente binomial, que é dada por:
C_{n,r}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}
O triângulo de Pascal (que na Itália é chamado de triângulo de Tartaglia e na China, triangulo de Yang Hui) é uma construção de números infinitos formado por números binomiais \binom{n}{k} onde n representa o número da linha e k o número da coluna que ele está. Lembrando que 0! = 1. Temos então:
Se desenvolvermos todos os coeficientes binomiais acima obtemos um triângulo composto pelos seguintes números:
Propriedades interessantes
O triângulo de Pascal possui diversas relações curiosas entre aos seus elementos. Vejamos algumas:
P1) Cada número do triângulo de Pascal é a soma dos dois números acima:
Esta propriedade também é chamada de Relação de Stifel, que formalmente pode ser escrita como:
\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}
P2) A soma de cada linha nos traz em ordem todas as potências de 2:
1=2^0
1+1=2=2^1
1+2+1=4=2^2
1+3+3+1=8=2^3
1+4+6+4+1=16=2^4
1+5+10+10+5+1=32=2^5
P3) Se escrevermos em ordem cada linha do triângulo de Pascal como se fossem um número único temos todas as potências de 11:
1=11^0
11=11^1
121=11^2
1.331=11^3
14.641=11^4
15.101.051=11^5
1.615.201.261=11^6
P4) O triângulo de Pascal possui uma simetria entre os seus elementos que nos garante a seguinte igualdade:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=\binom{n}{n-k}
Aplicações - expressão binomial
Os números da forma \binom{n}{k} aparecem como coeficientes no desenvolvimento de expressões binomiais (a+b)^n e quando for um número inteiro positivo, dizemos que:
(a+b)^n=(a+b)\cdot(a+b)...(a+b)
Exemplos:
(a+b)^1=a+b
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a+b)^6=a^6+6a^5+b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6
Note os coeficientes obtidos nas expressões binomiais acima. Se reescrevê-los na forma de um triângulo obtemos o triângulo de Pascal.
Quando multiplicamos (a+B) n vezes, cada termo será formado de k elementos a e de (n-k) elementos b, onde k=0, 1, 2, 3...n . Então surge a pergunta: Quantos termos da forma a^kb^{n-k} existirão: Simplesmente contaremos o número de maneiras possíveis de escolher k dentre os n elementos a, deixando de lado a ordem, ou seja, isso será justamente dado por \binom{n}{k}. Daí obtemos o que é conhecido como o teorema binomial, ou Binômio de Newton:
\displaystyle (a+b)^n=\sum^{n}_{k=0}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
Referências Bibliográficas
MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. São Paulo: Editora Livros Técnico Científicos, 1975.
]ROONEY, Anne. A História da Matemática. São Paulo: Editora M. Books, 2012.